Les vecteurs dans le repère

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux vecteurs dans un repère, comment noter leurs coordonnées, ainsi que trouver des points grâce aux vecteurs.

Tout d'abord, les coordonnées d'un vecteur $\vec{u}= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ sont notées verticalement, et $a$ représente le nombre de déplacements horizontaux, et $b$ le nombre de déplacements verticaux. Par exemple pour $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$, on bouge d'une unité horizontalement et de deux verticalement.

Imaginons maintenant qu'on a un point $A=(x_a,y_a)$ et un vecteur $\vec{u}= \begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix}$. On nous demande de trouver le point $B=(x_b,y_b)$ tel que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}.$ Ca veut dire qu'on doit avoir $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix}= \vec{u}$. Etant donné qu'on connaît $x_a$, $x_u$, $y_a$ et $y_u$, on a donc $B=(x_a+x_u, y_a + y_u)$.

Maintenant faisons l'exercice inverse: on nous donne les coordonnées des points $A=(x_a,y_a)$ et $B=(x_b,y_b)$. Et on souhaite trouver le vecteur $\vec{u}$ tel que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$. On peut de nouveau écrire $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix}= \vec{u}$. Mais cette fois-ci ce sont les coordonnées $x_a$, $x_b$, $y_a$ et $y_b$ qui sont connues. On n'a donc plus qu'à faire les soustractions $x_b-x_a$.

Faisons encore un exemple :