Polynômes du second degré

Polynôme du second degré

Dans cette vidéo, nous allons découvrir ce que sont les polynômes du second degré. Rappelons-nous d'abord de la forme d'une fonction affine, qui est de forme $bx+c$ . Quant au polynôme du second degré, c'est une fonction affine à laquelle on a ajouté un terme carré $ax^2$ , et sa forme est donc $ax^2 + bx +c$ . C'est donc une sorte de fonction affine avec un terme au carré en plus, et on l'appelle polynôme du second degré. En voici la définition mathématique :

Définition

La fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ est un polynôme du second degré.

Le graphe d'un polynôme du second degré est toujours une parabole. Pourquoi? Rappelons nous du graphe de $x^2$ , qui était une parabole. On a dans polynôme un terme qui y ressemble, le terme $ax^2$ , qui fait que le graphe d'un polynôme du second degré ressemble lui aussi à une parabole. On retrouve donc certaines propriétés de la parabole $x^2$ . Par exemple, le sens de la parabole dépend du signe de $x^2$ $a$ , et donc dans notre cas il dépend du signe de $a>0$ . Si $a<0$ , la parabole est orientée vers le haut, elle "sourit". Si , la parabole est orientée vers le bas, elle "pleure".

Forme canonique

Prenons le cas où notre parabole "sourit". On aimerait connaitre le point le plus bas, ou le minimum. Ou bien prenons le cas où elle "pleure" et on aimerait connaître son maximum, ou son sommet. Comment faire? Pour cela il faut factoriser le polynôme pour obtenir la forme canonique, que voici :

Définition

On appelle forme canonique de la fonction trinôme du second degré

f(x)= {\color{green}a}x^2 + {\color{red}b}x + {\color{purple}c}

l'écriture :

f(x) = {\color{green}a}\left( x-\alpha\right)^2+\beta

tels que $\alpha=-\dfrac {{\color{red}b}} {2{\color{green}a}}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

Exemple

On considère la fonction trinôme du second degré $p(x) = 2x^2+3x-7$ ..

Ecrire $p(x)$ sous sa forme canonique.

Solution

On a $p(x)= {\color{green}2}x^2 + {\color{red}3}x {\color{purple}-7}$ avec ${\color{green} a = 2}$ , ${\color{red}b=3}$ et ${\color{violet}c=7}$ .

D'après la définition de la forme canonique :

p(x)= {\color{green}a}\left( x-\alpha\right)^2+\beta

tel que :

\alpha=-\dfrac {{\color{red}b}} {2{\color{green}a}} = -\dfrac {{\color{red} 3}} {2\times {\color{green}2}} = -\dfrac 34

\beta = p(\alpha)= p\left(-\dfrac 34\right)= 2\left(-\dfrac 34\right)^2 + 3\left(-\dfrac 34\right) -7 = -\dfrac{65}{8}

Donc la forme canonique de la fonction trinôme $p$ est :

p(x) = 2\left( x+\frac 3 4 \right)^2-\frac { 65 } {8}.

Comme on le voit, trouver la forme canonique n'est pas toujours facile. Mais elle reste quand même très utile pour trouver les maxima et minima. Voyons comment:

Exemple

Soit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , un polynôme sous sa forme canonique.

Les coordonnées du minimum ou du maximum (en fonction du signe de $a$ ) sont données par $(\alpha;\beta)$ .

A l'inverse du calcul de la forme canonique, l'application de cette propriété est très simple, une fois qu'on a trouvé $\alpha$ et $\beta$ .

Dans l'exemple précédent, notre minimum $(a > 0)$ se trouve en $(-\dfrac{3}{4};-\dfrac{65}{8})$ .

Tableau de variation

On aimerait savoir comment dresser un tableau de variation d'un polynôme du second degré. Etant donné que l'on a affaire à une parabole, on aura un seul changement de comportement en $\alpha$ .

Dans le cadre d'une courbe orientée vers le haut $(a > 0)$ , elle décroît sur l'intervalle $]-\infty;\alpha]$ , et croît sur $[\alpha;+\infty[$ .

Dans le cas d'une courbe orientée vers le bas $(a < 0)$ , elle croît sur l'intervalle $]-\infty;\alpha]$ et décroît sur $[\alpha;+\infty[$ .

Faisons un exemple avec une courbe orientée vers le haut:

Exemple

Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction :

f(x) = 3(x-2)^2+1

Solution

$f$ est sous sa forme canonique et on voit que $a=3$ , $\alpha = 2$ et $\beta =1$ .

Puisse que $a=3>0$ alors $f$ est décroissante sur l'intervalle :

\rbrack-\infty;\alpha\rbrack=\rbrack-\infty;2\rbrack

Puis croissante sur l'intervalle :

\lbrack\alpha;+\infty\lbrack=\lbrack2;+\infty\lbrack

Voici le tableau de variation et la courbe de $f$ :

Etude de signe

Pour l'étude de signe d'un polynôme de second degré, référons nous à la propriété suivante:

Propriété

Soit $f$ une fonction trinôme de second degré définie par sa forme canonique : $f(x) = a( x-\alpha)^2+\beta$ tels que $a$ , $\alpha$ et $\beta$ sont trois nombres réels ( $a\neq 0$ ).

Si $a > 0$ et $\beta \geq 0$ , alors la fonction est positive sur $\mathbb R$ .
Si $a < 0$ et $\beta \leq 0$ , alors la fonction est négative sur $\mathbb R$ .
Dans les autres cas ( $a$ et $\beta$ ont des signes différents), on utilise la forme factorisée de $f$ puis on dresse un tableau de signe.

La marche à suivre est la suivante:

Mettre le polynôme sous la forme canonique.
Comparer les signes de $\alpha$ et $\beta$ .
Appliquer la propriété des signes.

Faisons les 3 cas en exemple :

Exemple

Etudier le signe des trois fonctions trinômes suivantes :

f(x)=(x−4)2+5
g(x)=−7(x+31)2−6
$h(x)= (x+1)^2 - 9$ .

Solution

- Signe de $f$ : pour tout $x \in \mathbb R$ :
$\begin{aligned} (x-4)^2\geq 0\\ (x-4)^2+ 5\geq 5\\ f(x) \geq 5>0\\ f(x) >0 \end{aligned}$ $(x - 4)^{2} \geq 0 (x - 4)^{2} + 5 \geq 5 f (x) \geq 5 > 0 f (x) > 0$ donc $f$ $f$ est positive sur $\mathbb R$ $R$ .
Signe de g : Pour tout {x∈R} : $\begin{aligned} (x+\dfrac13)^2\geq 0\\ -7(x+\dfrac13)^2\leq 0 \quad (\text{On inverse le signe car } -7<0)\\ -7(x+\dfrac13)^2-6\leq -6\\ g(x) \leq -6<0.\\ g(x) <0.\end{aligned}$ donc $g$ est négative sur $\mathbb R$ .
Signe de $h$ : On remarque ici que $a=1>0$ et $\beta=-9<0$ (signes différents), dans ce cas il faut penser au tableau de signe de la fonction $h$ . Premièrement on factorise l’expression $h(x)$ par l’identité remarquable ${\color{green}X}^2-{\color{purple}Y}^2=({\color{green}X}-{\color{purple}Y})({\color{green}X}+{\color{purple}Y})$ : $\begin{aligned} h(x)= (x+1)^2 - 9\\{}= {\color{green}(x+1)}^2-{\color{purple}3}^2\\{}= ({\color{green}(x+1)}-{\color{purple}3})({\color{green}(x+1)}+{\color{purple}3}) \\{}= ({\color{green}x+1}-{\color{purple}3})({\color{green}x+1}+{\color{purple}3}) \\{}= (x-2)(x+4) \\ \end{aligned}$

Tableau de signe de $h$ (Voir le cours : « Factorisation et Etudes de Signe ») : $x-2=0$ si et seulement si $x=2$ . $x+4=0$ si et seulement si $x=-4$ .

Conclusion : $h$ est positive sur l’ensemble $\rbrack-\infty;-4\rbrack \cup [2;+\infty[$ et négative sur l’intervalle $[-4 ;2]$

Revenir au chapitre

Polynôme du second degré et variations

Résoudre une (in)équation du type ax² + bx + c = 0

Polynômes du second degré

Polynôme du second degré

Définition

Forme canonique

Définition

Exemple

Exemple

Tableau de variation

Exemple

Etude de signe

Propriété

Exemple

Abdel -_-

Claire

Claire

Claire

Yannlopez

Yannlopez

Classes

Entreprise

Réseaux sociaux