Forme développée, forme factorisée, forme canonique

Dans cette vidéo, on aimerait clarifier quelle forme choisir pour son polynôme en fonction de la question à laquelle on souhaiterait répondre. Rappelons d'abord les formes polynomiales :

Définition

On appelle la forme réduite d'un polynôme quand il est écrit comme

f(x) = ax²+bx+c

On appelle forme canonique d'un polynôme quand il est écrit comme $f(x) = a\left( x-\alpha\right)^2+\beta.$ avec $\alpha=-\dfrac {b} {2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

On appelle forme factorisée d'un polynôme quand il est écrit comme $f(x) = d(x-r_1)(x-r_2)$ avec $r_1$ et $r_2$ telles que $f(r_1) = f(r_2)= 0$ . On les appelle les racines, ou valeurs annulatrices de $f$ .

La forme réduite est utilisée quand on veut calculer des images ou des antécédents.

La forme canonique est utilisée quand on veut calculer les maxima ou minima, ainsi que les tableaux de variation et les deux premiers cas du tableau de signe.

La forme factorisée est utilisée quand on veut trouver les racines du polynôme et dans le troisième cas du tableau de signe.

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Polynôme du second degré et variations

Résoudre une (in)équation du type ax² + bx + c = 0

Forme développée, forme factorisée, forme canonique

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