Terminale S

La multiplication des matrices

Définition

Soient A=(a1,a2,...,an)A = (a_1,a_2, ..., a_n) une matrice ligne 1×n1 \times n et B=(b1b2...bn)B = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix} une matrice colonne n×1n \times 1. Le produit de AA par BB est le nombre réel : A×B=(a1,a2,...,an)×(b1b2...bn)=a1b1+a2b2+...+anbnA \times B = (a_1,a_2, ..., a_n) \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...+ a_n b_n

Définition

Soient A=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1p} \\ a_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ a_{n1} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix} une matrice n×pn \times p

et B=(b11b12...b1qb21.....................bp1......bpq)B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ...& b_{1q} \\ b_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ b_{p1} & ...& ...& b_{pq} \end{pmatrix} une matrice p×qp \times q.

Le produit de AA par BB est la matrice : A×B=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)×(b11b12...b1qb21.....................bp1......bpq)=(c11c12...c1qc21.....................cn1......cnq)\begin{aligned} A \times B &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1p} \\ a_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ a_{n1} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ...& b_{1q} \\ b_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ b_{p1} & ...& ...& b_{pq} \end{pmatrix}\\{}&= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & ...& c_{1q} \\ c_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ c_{n1} & ...& ...& c_{nq} \end{pmatrix} \end{aligned} Avec cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aipbpjc_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ...+ a_{ip}b_{pj}

Propriété

Soit A,BA, B et C,C, trois matrices carrées de même dimension.

  • A×(B+C)=A×B+A×CA \times (B + C) = A \times B + A \times C (distributivité à gauche)
  • (A+B)×C=A×C+B×C(A + B) \times C = A \times C + B \times C (distributivité à droite)
  • A×(B×C)=(A×B)×CA \times (B \times C) = (A \times B) \times C (associativité de la multiplication).

Commentaires

lumix-smile
-1
Alix t   4
Merci pour vos séries de vidéos je commence à comprendre le fonctionnement des matrices !!!