S'abonner
decoration
decorationdecoration

La multiplication des matrices

Définition

Soient A=(a1,a2,...,an)A = (a_1,a_2, ..., a_n) une matrice ligne 1×n1 \times n et B=(b1b2...bn)B = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix} une matrice colonne n×1n \times 1. Le produit de AA par BB est le nombre réel :

A×B=(a1,a2,...,an)×(b1b2...bn)=a1b1+a2b2+...+anbnA \times B = (a_1,a_2, ..., a_n) \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n

Définition

Soient A=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1p} \\ a_{21} & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... &... \\ a_{n1} & ... & ... & a_{np} \end{pmatrix} une matrice n×pn \times p

et B=(b11b12...b1qb21.....................bp1......bpq)B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1q} \\ b_{21} & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... &... \\ b_{p1} & ... & ... & b_{pq} \end{pmatrix} une matrice p×qp \times q.

Le produit de AA par BB est la matrice :

A×B=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)×(b11b12...b1qb21.....................bp1......bpq)=(c11c12...c1qc21.....................cn1......cnq)\begin{aligned} A \times B &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1p} \\ a_{21} & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... &... \\ a_{n1} & ... & ... & a_{np} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1q} \\ b_{21} & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... &... \\ b_{p1} & ... & ... & b_{pq} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{1q} \\ c_{21} & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... &... \\ c_{n1} & ... & ... & c_{nq} \end{pmatrix} \end{aligned}

Avec cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aipbpjc_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ip}b_{pj}

Propriété

Soit A,BA, B et C,C, trois matrices carrées de même dimension.

  • A×(B+C)=A×B+A×CA \times (B + C) = A \times B + A \times C (distributivité à gauche)

  • (A+B)×C=A×C+B×C(A + B) \times C = A \times C + B \times C (distributivité à droite)

  • A×(B×C)=(A×B)×CA \times (B \times C) = (A \times B) \times C (associativité de la multiplication).

lumix

En générale A×BB×AA \times B \neq B \times A : la multiplication n'est pas commutative

Revenir au chapitre
Commentaires

Alix t

-1
il y a 5 ans
Merci pour vos séries de vidéos je commence à comprendre le fonctionnement des matrices !!!
Répondre