Axe de symétrie et sommet d'une parabole : cours

Le plan est rapporté à un repère orthonormé

Axe de symétrie et sommet d'une parabole

Considérons une parabole d'équation : $y=ax^2+bx+c$ , avec $a\neq 0$ .

Définition

Le sommet de cette parabole est le point où son maximum $\left(\right.$ lorsque $a<0 \left)\right.$ ou minimum $\left(\right.$ lorsque $a>0\left)\right.$ est atteint.

Elle possède un axe de symétrie qui est une droite passant par son sommet et parallèle à l'axe des ordonnées.

Remarque

$\star$ Si l'on connait les coordonnées du sommet, on déduit l'équation de l'axe de symétrie

Donc si le sommet $S$ a pour abscisse $a$ et pour ordonnée $b,$ alors l'axe de symétrie est la droite d'équation : $x=a$

Détermination des coordonnées du sommet

Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0.$

$f$ est une fonction polynôme de second degré et admet un extremum (maximum ou minimum) qui est atteint pour la valeur de $x$ annulant la dérivé $f'.$

Pour tout $x\in \mathbb{R}$ , $f'(x)=2ax+b.$

La résolution de l'équation $2ax+b=0$ dans $\mathbb{R}$ donne pour solution $x=-\dfrac{b}{2a}$ et $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$

Propriété

Le sommet de la parabole est le point $S\left(-\dfrac{b}{2a},\,\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

Exemple

Déterminons le sommet et l'axe de symétrie de la parabole d'équation : $y=-2x^2+8x+8$ .

Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+8x+8$ . C'est une fonction de second degré possédant un maximum car $-2<0$

Ce maximum est atteint pour la valeur $x$ annulant la dérivée $f'$ . Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f'(x)=-4x+8$ et $f'(x)=0$ équivaut à $x=2$

Le sommet de cette parabole est le point $S(2\,,16)$ et par conséquent, l'axe de symétrie est la droite d'équation $x=2$

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