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PremièreMathématiquesGéometrie reperée
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Axe de symétrie et sommet d'une parabole

Cours
Axe de symétrie et sommet d'une parabole : cours

Equations de cercle

Cours
course

course

Le plan est rapporté à un repère orthonormé

Equation cartésienne d'un cercle

Equation réduite de cercle ou forme centre-rayon

Soit (C)(\mathcal{C}) un cercle de centre Ω(x0 ,y0)\Omega(x_0\,,y_0) de rayon R>0R>0.

Définition

Le point M(x ,y)M(x\,,y) appartient au cercle (C)(\mathcal{C}) lorsque sa distance au point Ω(x0 ,y0)\Omega(x_0\,,y_0) est égale au rayon ; ce qui se traduit par :

M∈(C)eˊquivaut    aˋ    ΩM=RM\in(\mathcal{C})\quad équivaut\,\,\,\, à\,\,\,\, \Omega M=R

Proposition

Considérons a,ba,b deux réels positifs.

a=bsi  et  seulement  sia2=b2a=b \quad si\,\, et\,\, seulement \,\, si\quad a^2=b^2

Par suite, on obtient :

Propriété

M∈(C)eˊquivaut    aˋ    ΩM2=R2M\in(\mathcal{C})\quad équivaut\,\,\,\, à\,\,\,\, \Omega M^2=R^2
Caratérisation de l'appartenance d'un point à un cercle

Calcul de la distance du point Ω(x0 ,y0)\Omega(x_0\,,y_0) au point M(x ,y)M(x\,,y)

  • ΩM⟶(x−x0y−y0)\overset{\longrightarrow}{\Omega M}\left( \begin{array}{c} x-x_0\\y-y_0 \end{array}\right)

  • Donc ΩM=(x−x0)2+(y−y0)2\Omega M=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} , ce qui signifie que ΩM2=(x−x0)2+(y−y0)2\Omega M^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2

lumix

L'équation cartésienne réduite du cercle centré en Ω(x0 y0)\Omega(x_0\,y_0) et de rayon RR est donnée par :

(x−x0)2+(y−y0)2=R2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
lumix

A partir de cette forme, on lit directement le centre et le rayon du cercle.

Exemple

L'ensemble des points M(x ,y)M(x\,,y) tels que : (x−4)2+(y−1)2=9(x-4)^2+(y-1)^2=9 est le cercle de centre A(4 ,1)A(4\,,1) et de rayon R=3R=3

Equation développée d'un cercle

En développant l'équation réduite d'un cercle, on obtient son expression developpée.

Comme (x−x0)2=x2−2x0 x +x02(x-x_0)^2=x^2-2x_0\,x\,+x_0^2 et (y−y0)2=y2−2y0 y +y02(y-y_0)^2=y^2-2y_0\,y\,+y_0^2 , l'équation développée du cercle (C)(\mathcal{C}) de centre Ω(x0 ,y0)\Omega(x_0\,,y_0) de rayon R>0R>0 est :

x2+y2−2x0 x−2y0 y+x02+y02−R2=0x^2+y^2-2x_0\,x-2y_0\,y+x_0^2+y_0^2-R^2=0
lumix

D'une manière générale, l'équation développée d'un cercle est de la forme : x2+y2+px+qy+r=0x^2+y^2+px+qy+r=0

Problématique

Etant donné une équation de la forme x2+y2+px+qy+r=0x^2+y^2+px+qy+r=0 , comment savoir que c'est celle d'un cercle ?

Lorsqu'on a la forme x2+y2+px+qy+rx^2+y^2+px+qy+r , on va chercher à la transformer pour obtenir la forme "centre-rayon" si possible, grâce à l'outil " forme canonique "

lumix

  • x2+px=(x+p2)2−p24x^2+px=\left( x+\dfrac{p}{2}\right)^2-\dfrac{p^2}{4}

  • x2+y2+px+qy+r=(x+p2)2+(y+q2)2−p24−q24+rx^2+y^2+px+qy+r=\left( x+\dfrac{p}{2}\right)^2+\left( y+\dfrac{q}{2}\right)^2-\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{q^2}{4}+r

Exemple

Vérifions si l'ensemble des points M(x ,y)M(x\,,y) tels que : x2+y2−2x+4y+14=0x^2+y^2-2x+4y+14=0 est un cercle.

  • x2−2x=(x−1)2−1x^2-2x=(x-1)^2-1

  • y2+4y=(y+2)2−4y^2+4y=(y+2)^2-4

  • x2+y2−2x+4y+14=0x^2+y^2-2x+4y+14=0 équivaut à (x−1)2+(y+2)2=−9(x-1)^2+(y+2)^2=-9, qui n'est pas l'équation réduite d'un cercle.

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