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Opérations sur les matrices : ±\pm, transposée et multiplication par un scalaire

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Définition

Soient AA et BB deux matrices de même dimension. La somme A+BA+B des matrices AA et BB s’obtient en ajoutant les coefficients de AA aux coefficients de BB situés à la même position.

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Définition

Soient AA une matrice et kk un nombre réel. Le produit kAkA est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de AA par kk.

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Propriété

Soient A,BA, B et CC trois matrices de mêmes dimensions et kk et kk' deux réels.

  • A+B=B+AA + B = B + A (commutativité de l’addition)
  • A+(B+C)=(A+B)+CA + (B + C) = (A + B) + C (associativité de l'addition)
  • k(A+B)=kA+kBk(A + B) = kA + kB (distributivité par un scalaire)
  • (k+k)A=kA+kA(k + k')A = kA + k'A (distributivité par une matrice)
  • k(kA)=(kk)Ak(k'A) = (kk')A (associativité du scalaire)
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Définition

Soit AA une matrice à nn lignes, pp colonnes. Si BB est une matrice telle que bij=ajib_{ij} = a_{ji}, alors la matrice BB est appelée la matrice transposée de AA et est notée ATA^T. AT=(a11a21...an1a12.....................a1p......anp)A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{n1} \\ a_{12} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{1p} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix}

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