Produit scalaire et orthogonalité

Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par :

Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A, B$ et $C$distincts du plan.

Le produit scalaire est commutatif, c'est à dire que $\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$.

Si $\vec{u} = 0$ ou $\vec{v} = 0$, alors $\vec{u}.\vec{v} = 0$.

$\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$, appelé carré scalaire de $\vec{u}$, on a alors

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\pi}{2}$ ou $-\dfrac{\pi}{2} (2\pi)$.

Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition :

Pour deux réels $k$ et $k'$ :

En particulier $(-\vec{u}).\vec{v} =\vec{u}.(-\vec{v}) = -\vec{u}.\vec{v}$