Dans ce chapitre, nous allons étudier les fonctions, l'image d'une fonction et les antécédents d'une fonction. Une fonction représente une transformation d'un nombre envers un autre.
Prenons un exemple concret avec une machine à boulons. On entre des bouts de fer dans une machine qui sont transformés en boulons. Chaque bout de fer correspond à un boulon. Une fonction fait le travail équivalent à celui de la machine, sauf qu' la place des bouts de fers et des boulons, nous avons des nombres. On entre un nombre dans la fonction, et elle le transforme en un autre nombre.
Une fonction permet d'associer à tout nombre d'un ensemble un nombre unique .
Le nombre est appelé la variable de la fonction .
Le nombre est appelé image de par .
L'ensemble est appelé ensemble de définition de la fonction .
Il y a donc toujours une relation entre deux nombres quand on parle de fonction, l'antécédent et l'image. L'antécédent représente le nombre de départ, et une fois transformé par il devient l'image.
Dans notre exemple d'usine de boulons, est le bout de fer, est le boulon, et est la machine qui transforme le fer en boulon. Que représente ? Etant donné que la machine fait des boulons de fer, et représente l'ensemble de tout ce qu'on peut mettre dans la machine, représente donc le fer.
Soit une fonction et son domaine de défintion et . L'image de par la fonction est le nombre . Il est unique pour chaque .
L'image d'un nombre quelconque par est simplement . C'est le nombre transformé par .
Soit . Trouver l'image de .
On doit trouver , ce qui revient à remplacer par dans , ce qui nous donne
Soit . Trouver l'image de .
On doit trouver , ce qui revient à remplacer par dans , ce qui nous donne .
Tout élément de l'ensemble de définition a une telle image et celle-ci est unique. Ça veut dire qu'on ne peut pas avoir un nombre transformé par en deux nombres distincts.
Imaginons maintenant qu'on a affaire à une fonction représentée sur un graphe. On aimerait à partir de la valeur de l'antécédent, pouvoir déduire directement sur le graphique la valeur de l'image. Voici la marche à suivre:
On trace une droite verticale à partir de l'antécédent dont on veut trouver l'image .
On note l'unique intersection entre cette droite et le graphe de .
On trace une droite horizontale en ce point. L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées nous donne l'image recherchée.
Calculer l'image de pour le graphe de ci-dessous.
On trace une droite verticale à partir de , car on cherche l'image de .
On note l'unique intersection entre cette droite et le graphe de , qui est le point .
On trace une droite horizontale en . L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées nous donne , qui est l'image recherchée.
On fait toujours le même chemin! Verticale jusqu'à l'intersection avec la courbe , et horizontale jusqu'à l'intersection avec l'axe des ordonnées.
Considérons une fonction et deux nombres et tels que .
L'antécédent de par est le nombre .
L'antécédent peut être considéré comme l'inverse d'une image. L'image est connue et on cherche quel nombre a été transformé par pour arriver à cette image.
L’antécédent n'est pas forcément unique. Prenons et regardons l'antécédent de . On a , donc . Il y a donc deux antécédents de par .
Soit . Trouver l'antécédent de .
On connaît la valeur de l'image . On cherche donc un nombre tel que , ce qui implique que .
Soit . Trouver l'antécédent de .
On connaît la valeur de l'image . On cherche donc un nombre tel que , donc , et ainsi ou .
Il ne faut pas confondre antécédent et variable. La variable est n'importe quel nombre du domaine de définition , alors que l'antécédent de est un ou plusieurs nombres dont l'image par vaut
Pour lire les antécédents sur un graphique, la marche à suivre est la suivante:
On trace une droite horizontale à partir de la valeur de l'image dont on cherche l'antécédent.
On note toutes les intersections entre cette droite et le graphe de .
En chaque intersection, on trace une droite verticale et on lit la valeur de l'intersection avec l'axe des abscisses.
Calculer les antécédents de pour le graphe de ci-dessous:
On applique la méthode:
On trace la droite horizontale en , car on cherche les antécédents de .
On note toutes les intersections entre cette droite et la courbe de , ici .
On trace une droite verticale en chaque point. On obtient les valeurs des antécédents en regardant l'intersection avec l'axe des abscisses.
On fait toujours le même chemin! Horizontal jusqu'à l'intersection avec la courbe, et ensuite verticale jusqu'à l'intersection avec l'axe des abscisses.