Limite infinie et asymptote horizontale lorsque x tend vers l'infini

Dans ce chapitre, nous allons aborder les limites de fonctions. En language simple, une limite d'une fonction est simplement la valeur que cette fonction prendra avec un très grand nombre en argument.

Qu'est ce que ca veut dire?.... Faisons un exemple introductif:

Soit $f(x)= 1+\dfrac{1}{x}, x \in [1,\infty[$.

Selon la définition, si on veut savoir la limite infinie de $f$, on veut connaître la valeur de $f(x)$ avec un $x$ très grand. Essayons pour des valeurs de $x = 10,100,1000,10000$ et voyons comment se comporte cette fonction. On a alors :

On remarque que plus $x$ est grand, plus la valeur de $f(x)$ se rapproche de 1. Voilà, vous venez de trouver la limite infinie de la fonction $1+\dfrac{1}{x}$ ?. On peut donc noter la réponse :

Mais vous vous doutez bien qu'en mathématiques ce n'est jamais facile, alors mettez vos peintures de guerre et considérez avec moi un autre exemple;

Soit $g(x)= 2x+3, x \in [1,\infty[$.

Sans avoir peur de $g(x)$, appliquons simplement la méthode qu'on vient de voir. Pour les valeurs de $x=10,100,1000,10000$, regardons comment se comporte $g(x)$. On a alors :

On remarque qu'à l'inverse de l'exemple précédent. la valeur $g(x)$ devient de plus en plus grande. Mais comment peut on parler de limite infinie de $g(x)$, alors qu'elle ne fait que d’augmenter et n'a pas l'air d'avoir envie de s’arrêter? Pour de telles fonctions qui "cassent le plafond" on dira que leur limite en l'infini vaut l'infini et on note

Et oui ! une limite à l'infini peut elle-même valoir l'infini. Comme $g(x)$ est un nombre, rien ne l'empêche d'être aussi grand (ou aussi petit !) qu'on veut, il dépendra simplement de la fonction qu'on choisit, comme l'illustrent les 2 exemples précedents.