La fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Définition et propriétés générales

Définition

La fonction exponentielle notée $\exp$ est la seule fonction vérifiant :

$\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$\exp' = \exp$
$\exp(0)=1$ .

La nombre $\exp(x)$ est aussi noté $e^x$ .

Propriété

La fonction exponentielle est :

définie sur $\mathbb{R}$
continue
strictement positive
strictement croissante.

Propriété

L'image de $1$ par la fonction $\exp$ est notée $e \approx 2, 718 281 828$ . Donc $\exp(1) = e$ .

Propriété

Pour tout réels $a$ et $b$ , pour tout entier $n$ ,

$e^{a+b} = e^{a}\times e^{b}$
$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
$(e^{a})^n = e^{na}$

Attention : $e^{a+b} \not = e^a + e^b$ .

Représentation graphique de la fonction exponentielle

La courbe de la fonction exponentielle est continue et se dessine toujours au dessus de l'axe des abscisses : $\exp(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\exp(x) > 0$ .

Elle "touche" presque l'axe des abscisses en $-\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty} \exp(x) = 0$ .

La courbe croît de plus en plus vite vers $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} \exp(x) = +\infty$ .

Etude de la fonction exponentielle : équations, inéquations, limites et dérivée

Équations et Inéquations avec la fonction exponentielle

Propriété

Pour tout réels $a$ et $b$ ,

$e^a = e^b \Longleftrightarrow a = b$
$e^a < e^b \Longleftrightarrow a < b$
$e^a \leq e^b \Longleftrightarrow a \leq b$ .

Ces propriétés sont vrais car la fonction $\exp$ est strictement croissante

Limites de la fonction exponentielle

Propriété

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}e^x = +\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^x = 0.$

Propriété

Pour tout entier naturel $k$ ,

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^k} = +\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x^ke^x = 0$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1.$

Ces propriétés sont vrais car la fonction $\exp$ croît plus vite que les fonctions polynomiales

Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété

Pour tout réel $x$ , $(e^x)' = e^x$ .

Propriété

Pour toute fonction $u$ , $(e^u)' = u'e^u$ .

Remarquons que comme $e^u>0$ , le signe de la dérivée ne dépend que de $u'$ , Les variations de $e^u$ sont les mêmes que la fonction $u$ .

Mots clés à retenir : Exponentielle, Croissante, Positive.

La fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Définition et propriétés générales

Définition

Propriété

Propriété

Propriété

Représentation graphique de la fonction exponentielle

Etude de la fonction exponentielle : équations, inéquations, limites et dérivée

Équations et Inéquations avec la fonction exponentielle

Propriété

Limites de la fonction exponentielle

Propriété

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Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété

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