Soit et deux entiers relatifs.
S'il existe un entier relatif tel que , on dit que est un multiple de .
Si de plus , on dit que est un diviseur de .
Dans ce cas, on dit également que est divisible par ou que divise .
Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont et .
Soit et des entiers relatifs tels que et . Si divise et divise , alors divise .
Soit et des entiers relatifs tels que .
Si est un diviseur commun à et , alors divise et .
Plus généralement, divise pour tous et entiers relatifs.
Soit et deux entiers naturels, étant non nul. Il existe un unique couple d'entiers naturels tels que : avec . On dit que est le dividende, le diviseur, le quotient et le reste dans la division euclidienne de par .
Dans la division de par , il n'y a que restes possibles : 0, 1, ..., b-1.
divise si et seulement si le reste dans la division euclidienne de par est nul.
Soit un entier relatif non nul. Deux entiers relatifs et ont même reste dans la division par si et seulement si est multiple de .
Dans ce cas, on dit que et sont congrus modulo .
Soit et des entiers relatifs avec . Si et alors .
Soit et des entiers relatifs avec . Si et alors :
et
pour tout
On dit qu'un entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs : et lui-même.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à . Alors :
admet au moins un diviseur premier.
Si n'est pas premier, il admet au moins un diviseur premier tel que p \leq \sqrt{n}.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à . D'après le théorème des diviseurs premiers, si n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieur ou égaux à sa racine carrée, on peut affirmer qu'il est premier.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à Alors :
se décompose en un produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
Si est un entier naturel supérieur ou égal à se décomposant en produit de facteurs premiers sous la forme
alors les diviseurs positifs de sont les entiers de la forme avec , pour tout tel que .
Si l'entier admet comme décomposition en produit de facteurs premiers, alors il a diviseurs positifs.
Soit l'ensemble des diviseurs communs à deux entiers et . pour tout .
Si où est le reste de la division euclidienne de par .
Si divise où désigne l'ensemble des diviseurs de .
Si et sont deux entiers relatifs non tous les deux nuls, l'ensemble des diviseurs communs à et admet un plus grand élément. On l'appelle Plus Grand Commun Diviseur de et et on le note .
Soit et deux entiers relatifs non tous les deux nuls :
pour tout . En particulier :
si où est le reste de la division euclidienne de par .
si est un diviseur positif de
Soit et deux entiers tels que . L'algorithme suivant appelé algorithme d'Euclide permet en un nombre fini d'étapes de calculer .
Calculer le reste dans la division euclidienne de par .
Si .
Si remplacer par , par et recommencer à partir de .
Soit et deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Les diviseurs communs à et sont les diviseurs de .
Soit et deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Pour tout .
Soit et deux entiers relatifs non tous les deux nuls et un entier naturel : si et seulement si et avec et entiers premiers entre eux.
Soit et deux entiers supérieurs ou égaux à .
S'ils n'ont aucun facteur premier commun, .
Sinon, est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions.
Soit et deux entiers relatifs non tous les deux nuls et .
Il existe et deux entiers relatifs tels que .
L'ensemble des entiers ( et entiers relatifs) est l'ensemble des multiples de .
Deux entiers relatifs et sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs et tels que .
Soit et trois entiers non nuls. Si divise et si est premier avec alors divise .
Soit et trois entiers non nuls. Si et divisent et est premier avec alors divise .
Si est un entier premier et un entier naturel non divisible par alors est divisible par (ou encore )
Si est un entier premier et un entier naturel alors est divisible par (ou encore ).
Soit et deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des multiples commun strictement positifs de et admet un plus petit élément , noté et appelé Plus Petit Commun Multiple de et .
On obtient le de deux entiers supérieurs ou égaux à en effectuant le produit des facteurs premiers figurant dans l'une ou l'autre de leurs décompositions, chacun étant affecté de son exposant s'il n'apparaît que dans l'une des deux décompositions ou du plus grand des deux exposants s'il apparaît dans les deux.
Si et sont deux entiers naturel non nuls, alors .
Si et sont deux entiers relatifs non nuls, pour tout .
Mots clés à retenir : PGCD, Nombre premier, Gauss, Bézout, PPCM.