Actions Mécaniques

Introduction

Modéliser les actions mécaniques : c'est-à-dire essayer de les traduire sous la forme de quelque chose d’exploitable mathématiquement.

Définition d’une action mécanique

Contrairement à un mouvement, une action mécanique ne se voit pas. Néanmoins nous sommes capables d’en percevoir les effets :

Définition

On appelle action mécanique toute cause susceptible de :

maintenir un corps au repos
créer ou modifier un mouvement
déformer un corps

Les actions mécaniques à distance ou à zone d’application volumique

Ces actions mécaniques s’exercent en chaque point d’un corps (sur ses particules) sur un autre sans pour autant qu’il n’y ait de contact. On adoptera la proposition de Faraday, postulant que ces actions sont transmises par un champ, sorte de corps immatériel permettant de transmettre ces actions. Par exemple :

actions dues à la pesanteur (poids avec $\lVert \vec{P} \rVert = \text{Masse} \times \lVert \vec{g} \rVert$ on prend comme valeur de $g=9.81$ m/s $^2$
actions magnétiques (force de Laplace, attraction Coulombienne,…)

Théorème

Pour les actions de pesanteur on peut utiliser la loi de la force d’attraction telle qu’elle a été découverte par Newton :

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

Avec $m_1$ et $m_2$ les masses de corps en kg, $r$ la distance qui les sépare en m et $G$ la constante de gravitation universelle (déterminée par Lord Henry Cavendish qui par la même trouva la masse de la terre) :

$G = 6,67.10^{-11}$ Nm $^2$ /kg $^2$

Pour des volumes "complexes" on peut trouver la position du centre de gravité à l'aide de la recherche du barycentre du volume. En faisant ceci on opère une petite erreur qui est négligeable pour le dimensionnement de systèmes techniques.

Par exemple on cherche le vecteur $OG$ , position du centre de gravité de $S_1+S_2$ :

Pour $S_1$ et $S_2$ on exprime la position de leurs centres de gravité respectifs sur $x$ et $y$ ainsi que la valeur de la surface

+	Surface	Centre de gravité sur $x$	Centre de gravité sur $y$
$S_1$	5000	25	50
$S_2$	2500	75	25

Ensuite on peut déterminer le centre de gravité $G$ de $S_1+S_2$ tel que :

Sur l'axe $x$ la position $OG$ : $\dfrac{5000}{5000+2500} \times 25 + \dfrac{2500}{5000+2500} \times 75 = \dfrac{125}{3}$
Sur l'axe $y$ la position $OG$ : $\dfrac{5000}{5000+2500} \times 50 + \dfrac{2500}{5000+2500} \times 25 = \dfrac{125}{3}$

La trainée : frottement fluide

Définitions et propriétés

Définition

Un objet immergé dans un fluide (gaz ou liquide) subit des efforts de la part du fluide en fonction de sa vitesse de déplacement relative.

Les efforts étudiés ici sont induits par l'inertie du fluide, à travers sa masse volumique, et de la modification de son état de mouvement (ou de repos) par l'objet, la vitesse relative.

Remarque

En plus de l'effort de trainée en fonction de sa géométrie il peut aussi subir un effort de portance :

Propriété

Quand un objet se déplace dans un fluide (gaz ou liquide) on peut estimer l'effort qu'il va subir

F = \frac{1}{2}\rho.S_p.V_\text{fluide}^2.C_x

avec :

$F$ l'effort en N,
$\rho$ la masse volumique du fluide en kg/m $^3$ ,
$S_p$ la surface exposée au fluide mesurée "normalement" à la direction de la vitesse (cf schéma ci-dessous) en m $^2$ ,
$C_x$ un coefficient de pénétration qui dépend de la forme,
$V_\text{fluide}$ la vitesse relative entre le fluide et l'objet en m/s

Si le fluide avance selon les flèche rouge et que l'objet est le cylindre bleu il faut prendre $S_p$ comme sur le schéma.

Détermination du Cx

Propriété

Le coefficient $C_x$ permet de tenir compte la capacité de pénétration de l'objet dans l'air.

Exemple

Une sphère résiste environ $2$ fois moins à l'avancement qu'un cube. Son $C_x$ est donc environ $2$ fois plus faible.

Propriété

Un $C_x$ de $1$ correspond à une forme neutre vis-à-vis de la résistance à l'avancement. Elle n'a ni un effet positif ni négatif, d'un point de vue physique c'est une forme qui arrête parfaitement les particules de fluide qui viennent taper sur sa face frontale.

Remarque

En réalité ce $C_x$ n'est pas constant et dépend de la vitesse d'écoulement.

En première approche on peut prendre les valeurs suivantes pour les calculs de systèmes techniques simples :

Détermination de Sp

Définition

La surface projetée $S_p$ est mesurée comme la projection de la surface exposé au flux de fluide sur un plan normal à la vitesse du fluide :

Actions Mécaniques

Introduction

Définition d’une action mécanique

Définition

Les actions mécaniques à distance ou à zone d’application volumique

Théorème

La trainée : frottement fluide

Définitions et propriétés

Définition

Remarque

Propriété

Détermination du Cx

Propriété

Exemple

Propriété

Remarque

Détermination de Sp

Définition

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