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PremièreMathématiquesTrigonométrie et angles orientés
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Trigonométrie et Angles Orientés

Coordonnées du cercle trigonométrique

Définition et propriétés générales

Définition

Le cercle trigonométrique CC est le cercle de centre OO et de rayon 11. Il est muni d’un sens de parcours appelé sens direct, qui est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Avec ce choix, on dit que le plan est orienté.

Propriété

Tout nombre réel xx a un point-image unique sur le cercle CC. S’il existe k∈Zk \in \mathbb{Z} tel que x′=x+k×2πx' = x + k \times 2\pi, alors xx et x′x' ont le même point-image sur le cercle CC.

Définition

La mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique qu’il intercepte.

Propriété

Les mesures des angles en degré et en radian sont proportionnelles.

Trigonométrie

Théorème

Soit xx un nombre réel et MM le point-image de xx sur le cercle trigonométrique CC. Le point MM a pour coordonnées (cos⁡x;sin⁡x)(\cos x ; \sin x).

Propriété

Pour tout nombre xx et pour tout entier relatif kk :

  • (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1

  • −1≤cos⁡x≤1-1 \leq \cos x \leq 1 et −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1

  • cos⁡(x+k×2π)=cos⁡x\cos(x + k \times 2\pi) = \cos x et sin⁡(x+k×2π)=sin⁡x\sin(x + k \times 2\pi) = \sin x

Propriété

Pour tout nombre réel xx :

{cos⁡(−x)=cos⁡xcos⁡(π−x)=−cos⁡xsin⁡(−x)=−sin⁡xsin⁡(π−x)=sin⁡xcos⁡(π+x)=−cos⁡xcos⁡(π2−x)=sin⁡xsin⁡(π+x)=−sin⁡xsin⁡(π2−x)=cos⁡xcos⁡(π2+x)=−sin⁡xsin⁡(π2+x)=cos⁡x\begin{cases} \cos(-x)&=\cos x && \cos(\pi-x) &=-\cos x\\ \sin(-x)&=-\sin x && \sin(\pi-x) &=\sin x\\ \cos(\pi+x)&=-\cos x && \cos(\frac{\pi}{2}-x)&=\sin x\\ \sin(\pi+x)&=-\sin x && \sin(\frac{\pi}{2}-x)&=\cos x\\ \cos(\frac{\pi}{2}+x)&=-\sin x\\ \sin(\frac{\pi}{2}+x)&=\cos x \end{cases}

Propriété

Quels que soient les nombres aa et bb :

  • cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

  • cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

  • sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\sin (a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a

  • sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−sin⁡bcos⁡a\sin (a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a

  • cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2a = 2 \cos^2 a - 1 = 1 - 2 \sin^2 a

  • sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin2a = 2 \sin a \cos a

Propriétés sur les angles orientés et cercle trigonométrique

Définition

Soit u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls. On définit les poins MM et NN tels que OM→\overrightarrow{OM} et ON→\overrightarrow{ON} sont leurs représentants respectifs d'origine OO. Soit M′M' et N′N' les points d'intersection des demi-droites [OM)[OM) et [ON)[ON) avec le cercle trigonométrique. Soit xx et yy deux nombres réels qui ont pour points-images M′M' et N′N', alors y−xy-x est une mesure en radian de l’angle orienté (u⃗,v⃗)(\vec{u},\vec{v}).

Propriété

L'angle orienté (u⃗,v⃗)(\vec{u},\vec{v}) a une unique mesure α\alpha dans l’intervalle, ]−π;π]]-\pi ; \pi] appelée mesure principale.

Propriété

  • Relation de Chasles pour les angles Soit u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} et w⃗\vec{w}trois vecteurs non nuls, alors (u⃗,v⃗)+(v⃗,w⃗)=(u⃗,w⃗)(\vec{u},\vec{v}) + (\vec{v},\vec{w}) = (\vec{u},\vec{w})

  • Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs u⃗\vec{u}et v⃗\vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, (u⃗,v⃗)=0(\vec{u},\vec{v}) = 0 ou (u⃗,v⃗)=π(\vec{u},\vec{v}) = \pi.

Propriété

Soit u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls.

  • (u⃗,v⃗)=−(v⃗,u⃗)(\vec{u},\vec{v}) = -(\vec{v},\vec{u})

    • (−u⃗,−v⃗)=(u⃗,v⃗)(-\vec{u},-\vec{v}) = (\vec{u},\vec{v})

    • (−u⃗,v⃗)=(u⃗,v⃗)+π(-\vec{u},\vec{v}) = (\vec{u},\vec{v}) + \pi

    • (u⃗,−v⃗)=(u⃗,v⃗)+π(\vec{u},-\vec{v}) = (\vec{u},\vec{v}) + \pi

    Propriété

    Soit u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs directeurs non nuls et kk et k′k' deux nombres réels non nuls. (ku⃗,k′v⃗)={(u⃗,v⃗) si k et k′ de meˆme signe(u⃗,v⃗)+π sinon(k\vec{u},k'\vec{v}) = \begin{cases} (\vec{u},\vec{v}) \text{ si } k \text{ et } k' \text{ de même signe} \\ (\vec{u},\vec{v}) + \pi \text{ sinon}\end{cases}

    Commentaires

    AsDinManeca

    1
    il y a 5 ans
    https://mathrix.fr/fr/1ere-s/maths/produit-scalaire-dans-le-plan/produit-scalaire-dans-le-plan/calculs-du-produit-scalaire-dans-le-plan/exercice/745 problème de code sur la correction étape 1
    Répondre

    AsDinManeca

    0
    il y a 5 ans
    Ecris un commentaire..
    Répondre

    DOUDOU

    0
    il y a 5 ans
    il n'y a pas fonction circulaire
    Répondre

    raphaltout

    0
    il y a 5 ans
    Ecris un commentaire..
    Répondre

    Naïa

    0
    il y a 5 ans
    Je comprend passsss ?
    Répondre

    ilyes

    1
    il y a 5 ans
    controle demain mdrrrrrrr
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    tanynoo

    1
    il y a 5 ans
    Bonjour Vous comprenez les angles orientés avec Chasles vous ?
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    Nadyne

    0
    il y a 5 ans
    Ecris un commentaire..
    Répondre

    Paul59

    0
    il y a 5 ans
    dommage qu'il faille payer pour acceder aux interros...
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    Benji

    0
    il y a 5 ans
    oui mais ca vaut le coup de payer
    Répondre

    Benji

    -1
    il y a 5 ans
    oui mais ca vaut le coup de payer
    Répondre

    Benji

    0
    il y a 5 ans
    oui mais ca vaut le coup de payer
    Répondre

    HABIB

    0
    il y a 4 ans
    GHTHH
    Répondre
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