Frottements

Introduction

Propriété

Dans les liaisons réelles les frottements entre les différentes pièces existent selon $3$ possibilités:

glissement
roulement
pivotement

Définition

On considérera que le frottement existe selon $3$ régimes :

Sec = le contact est direct entre les solides : le frottement dépend des efforts
Visqueux = interposition d’un film fluide au contact : le frottement dépend de la vitesse
Onctueux = interposition d’un film (graisse par exemple) ayant un comportement hybride entre le sec et le visqueux. : le frottement dépend de la vitesse et des efforts

A chaque régime correspond une méthode de calcul, a notre niveau nous n’étudierons que le frottement sec : il convient de savoir faire la différence avec les autres régimes et ne pas leur appliquer les formules de ce cours !

Le frottement de glissement

La théorie que nous allons étudier est due à Charles de Coulomb un officier, ingénieur et physicien français. Il a proposé de modéliser le frottement sec par $3$ lois.

Définition

$\overrightarrow{N(S_1/S_2)}$ la densité surfacique normale au contact entre les solides $S_1$ et $S_2$
$\overrightarrow{T(S_1/S_2)}$ la densité surfacique tangentielle au contact entre les solides $S_1$ et $S_2$
$\overrightarrow{V(A \in S_2/S_1)}$ la vitesse du point de contact $A$ du solide $2$ par rapport au solide $1$

Loide Coulomb

$\overrightarrow{T(S_1/S_2)} \wedge \overrightarrow{V(A \in S_1/S_2)} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{T(S_1/S_2)}.\overrightarrow{V(A \in S_1/S_2)} < 0$
$\lVert \overrightarrow{T(S_1/S_2)} \rVert = f\lVert \overrightarrow{N(S_1/S_2)} \rVert$

Avec $f$ le facteur de frottement (on le note aussi $\mu$ ) dépendant des surfaces en frottement. Quelques valeurs de $f$ :

+	Acier	Bronze	Fonte	Cuir	Bois	Garniture de friction
Acier	0,1	X	X	0,25	0,3	0,3
Bronze	.	0.2	0,1	0,25	0,3	X
Fonte	.	.	X	0,25	0,3	X
Cuir	.	.	.	X	X	X
Bois	.	.	.	.	0,4	X
Garniture de friction	.	.	.	.	.	.

Le facteur dépend aussi de la pression de contact, de la température et de la vitesse de glissement voici des courbes d’évolution pour des plaquettes de freins :

Graphe de frottement en fonction de la pression.

Graphe de frottement en fonction de la vitesse.

Graphe de frottement en fonction de la température.

Le cas du contact ponctuel avec glissement

Pour commencer nous intéresserons au cas du glissement dans le cas d’un contact ponctuel d’axe $z$ . Cette fois le torseur des actions transmissibles de $1/2$ s’écrit :

$\begin{Bmatrix} T 1/2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ N_z & 0 \end{Bmatrix}_{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}}$

Le torseur de mouvement sera alors :

$\begin{Bmatrix} T_2 1/2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} T_x & 0 \\ T_y & 0 \\ 0 & 0 \end{Bmatrix}_{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}}$

La troisième loi de Coulomb permet de lier les différentes composantes par la formule :

Propriété

\sqrt{T_x^2 + T_y^2} = f \lVert N_z \rVert

Mais c’est insuffisant car on a $2$ inconnues et une équation.

On regarde alors la direction du mouvement : Si le solide $2$ glisse selon l’axe $x$ par rapport au solide $1$ alors la première loi dit:

$\begin{pmatrix} T_x \\ T_y \\ 0\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -T_y \times V_x\end{pmatrix}$

et comme le résultat donne un vecteur nul :on en conclut que $T_y = 0$ La troisième loi se simplifie : $\lVert T_x \rVert = f \lVert N_z \rVert$ mais c’est encore insuffisant : on ne connaît pas le signe de $T_x$ .

On regarde alors le sens du mouvement : Si le solide $2$ glisse selon l’axe $+x$ par rapport au solide $1$ alors la seconde loi dit :

$\begin{pmatrix} T_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} +V_x \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = T_x.V_x$ . et comme ce résultat doit être inférieur à zéro et que $V_x$ est positif (mouvement selon $+x$ ) alors on en conclut que $T_x$ est négatif.

Au final : Le torseur de frottement sera alors :

$\begin{Bmatrix} T_2 1/2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -f.\lVert N_z \rVert & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{Bmatrix}_{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}}$

Et la liaison réelle sera égale à la parfaite $+$ les frottements.

L'essentiel à retenir :

Le frottement est porté par la direction du mouvement (ici l'axe $x$ )
Le signe est opposé au mouvement (si mouvement selon $+x$ alors frottement selon $-x$ )
Le module est déterminer par la $3^e$ loi de Coulomb qui est la seule à connaitre par cœur.

Le cas de la liaison ponctuelle avec frottement d’adhérence

Propriété

Dans le cas ou les solides $1$ et $2$ adhèrent alors les $2$ premières lois ne sont plus utilisables (en effet les vitesses sont nulles) et la troisième utilisée seule est inutilisable. Elle prendra alors la forme d’une inégalité :

$\lVert \overrightarrow{T(S_1/S_2)} \rVert \leq f\lVert \overrightarrow{N(S_1/S_2)} \rVert$

Cette formule fait apparaître une conclusion mécanique de premier ordre : le vecteur de frottement $T$ peut prendre n’importe quelles valeurs pourvu qu’elles respectent l’inégalité ! Seule la mise en situation dans un problème de statique ou de dynamique de ce contact dans un mécanisme permettra une résolution.

Conclusions pour la ponctuelle : Le cône de frottement

Propriété

On peut dire que la résultante se trouve dans un cône de demi angle au sommet $\phi$ tel que : $\tan(\phi) = f$

Propriété

Avec un frottement tangentiel $T$ on a les cas suivants :

Frottement d’adhérence : La résultante est quelque part dans le cône
Frottement de glissement : La résultante est sur le cône

Exemple

Pour un cas plan :

Méthode graphique

Pour tenir compte des lois de Coulomb sur le frottement sec il suffit de tracer un triangle sur chaque liaison ponctuelle non parfaite (projection du cône de frottement dans le plan). Le demi angle au sommet phi sera calculé selon la formule :

Puis selon le cas :

Le contact glisse : La direction de l’effort est opposée au mouvement et sur le cône.
Le contact adhère : La direction de l’effort se trouve quelque part dans le cône et ne peut-être considérée comme connue.

Notion d’arc-boutement :

L’arc-boutement est un phénomène physique de coincement qui survient pour des causes géométriques et non mécaniques. C'est-à-dire que quelque soit l’intensité de l’effort extérieur le système restera coincer jusqu'à la rupture des pièces. Ce phénomène est souvent utilisé dans des serre-joints, pistolets à colle, roues libres et dans l’architecture.

Frottements

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Définition

Le frottement de glissement

Définition

Loide Coulomb

Le cas du contact ponctuel avec glissement

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Le cas de la liaison ponctuelle avec frottement d’adhérence

Propriété

Conclusions pour la ponctuelle : Le cône de frottement

Propriété

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Exemple

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