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Les vecteurs dans le repère

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux vecteurs dans un repère, comment noter leurs coordonnées, ainsi que trouver des points grâce aux vecteurs.

Tout d'abord, les coordonnées d'un vecteur u=(ab)\vec{u}= \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} sont notées verticalement, et aa représente le nombre de déplacements horizontalaux, et bb le nombre de déplacements verticaux. Par exemple pour u=(12)\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, on bouge d'une unité horizontalement et de deux verticalement.

Imaginons maintenant qu'on a un point A=(xa,ya)A=(x_a,y_a) et un vecteur u=(xuyu)\vec{u}= \begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix}. On nous demande de trouver le point B=(xb,yb)B=(x_b,y_b) tel que AB=u\overrightarrow{AB}=\vec{u}. Ca veut dire qu'on doit avoir AB=(xbxaybya)=(xuyu)=u\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix}= \vec{u} . Etant donné qu'on connaît xax_a,xux_u,yay_a et yuy_u, on a donc B=(xa+xu,ya+yu)B=(x_a+x_u, y_a + y_u).Faisons un exemple introductif:

Exemple

  • Soient A=(1,1)A=(1,1) et u=(31)\vec{u}= \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}. Trouver les coordonnées du point B=(xb,yb)B= (x_b,y_b) telles que AB=u\overrightarrow{AB}=\vec{u}

On veut avoir AB=(xbxaybya)=(xb1yb1)=(31)=u\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_b-1\\y_b-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}= \vec{u}.

Ce qui donne\quad xb1=3x_b-1 = 3, \quad yb1=1y_b -1 = 1,

et on trouve \quad xb=4x_b = 4, \quad yb=2y_b =2.

Donc B=(4,2)B = (4,2).

On peut arriver à la même réponse en additionnant les coordonnées de u\vec{u} et de AA.

lumix

Si on additionne les coordonnées de AA et de u\vec{u}, sur le graphique le vecteur u\vec{u} part du point AA et non de l'origine du repère.

Maintenant faisons l'exercice inverse: on nous donne les coordonnées des points A=(xa,ya)A= (x_a,y_a) et B=(xb,yb)B=(x_b,y_b). Et on souhaite trouver le vecteur u\vec{u} tel que AB=u\overrightarrow{AB}=\vec{u}. On peut de nouveau écrire AB=(xbxaybya)=(xuyu)=u\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix}= \vec{u}. Mais cette fois-ci ce sont les coordonnées xax_a,xbx_b,yby_b et yby_b qui sont connues. On n'a donc plus qu'à faire les soustaractions xbxax_b-x_a et ybyay_b-y_a.

Faisons encore un exemple :

Exemple

Soient A=(2,4)A=(2,4) et B=(3,1)B=(3,1). Trouver les coordonnées du vecteur u=(xuyu)\vec{u}= \begin{pmatrix}x_u\\y_u\end{pmatrix} telles que AB=u\overrightarrow{AB}=\vec{u}.

On veut avoir AB=(xbxaybya)=(3214)=(13)=u\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_b-x_a\\y_b-y_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-2\\1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}= \vec{u}

Donc u=(13)\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}.

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Commentaires

Anais

0
il y a 5 ans
pour la question les coordonéées du vecteur AB c'est ( -9,9 ; 10) ?
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VeryWOW_

0
il y a 5 ans
oui c'est ca
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Loïc

0
il y a 5 ans
pour la réponse du Vecteur AB ses coordonnées sont (-9,9.10)
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Une_personne_passant_par_la

0
il y a 4 ans
Gilou le retour :O
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