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Méthode : Multiplier par un scalaire dans le repère

Définition

Soient u\vec{u} un vecteur et kk un nombre réel quelconque. Le produit du vecteur u\vec{u} par le nombre kk est le vecteur noté kuk\vec{u} tel que :

  • Si k>0k > 0 alors kuk\vec{u} et u\vec{u} sont des vecteurs de même direction, de même sens et ku=k×u\| k\vec{u} \| = k \times \| \vec{u} \|.

  • Si k<0k < 0 alors kuk\vec{u} et u\vec{u} sont des vecteurs de même direction, de sens contraire et ku=k×u\| k\vec{u} \| = - k \times \| \vec{u} \| (k-k est positif dans ce cas).

Propriété

Pour tous vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} et pour tous nombres réels aa et bb:

  • a(u+v)=au+ava(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u}+a\vec{v}

  • (a+b)u=au+bu(a+b)\vec{u} = a\vec{u}+b\vec{u}

  • (ab)u=a(bu)(ab)\vec{u} = a(b\vec{u})

  • 1u=u1\vec{u} = \vec{u}

  • au=0a\vec{u} = 0 si et seulement si (a=0a=0 ou u=0\vec{u}=\vec{0}).

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