Méthode : Additionner et soustraire dans le repère

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. La somme des deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ (notée $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$) est le vecteur $\overrightarrow{AC}$. On a donc :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $A$ un point quelconque du plan. La construction de la somme $\vec{u}+\vec{v}$ peut se faire de deux manières :

Méthode de Chasles :

Il existe un unique point $B$ tel que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et il existe un unique point $C$ tel que $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$. Donc d’après la relation de Chasles (voir la figure ci-dessous) :

Méthode du parallélogramme :

Il existe un unique point $B$ tel que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et il existe un unique point $C$tel que $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. La somme de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (c'est-à-dire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$) est le vecteur $\overrightarrow{AD}$ tel que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (voir la figure ci-dessous).

Conclusion : $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.$

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$