Cours
Tableau de variation
Tableau de variation
Dans ce chapitre, on va apprendre à construire un tableau de variation. Le but d'un tel tableau est de nous renseigner sur le comportement de la fonction, c'est-à-dire quand est-ce que elle "monte", quand est-ce qu'elle "descend".
Introduction
Une fonction qui ne fait que de "monter" est dite croissante. Sur un graphe, une telle fonction irait dans le sens
Une fonction qui ne fait que de "descendre" est dite décroissante. Sur un graphe, une telle fonction irait dans le sens
Une fonction qui ne change pas de valeur est dite constante. Sur un graphe, une telle fonction irait dans le sens
Représentation graphique d'une fonction croissante (gauche) et une fonction décroissante (droite).
On peut maintenant passer aux définitions précises:
Définition
Une fonction est dite croissante si :
Lorsque la valeur de augmente, l’image augmente.
Définition
Une fonction est dite décroissante si :
Lorsque la valeur de augmente, l’image diminue.
Définition
Une fonction est dite constante si :
Lorsque la valeur de augmente, l’image ne change pas.
Il existe des fonctions, comme , qui peuvent être décroissantes à un endroit et croissantes à un autre. Dans un tel cas, on veut savoir sur quel intervalle elle est croissante, et sur quel intervalle elle est décroissante.
Construire un tableau de variation
On a maintenant les outils pour construire un tableau de variation. Voici les étapes à suivre:
Tracer un tableau à deux lignes
Distinguer les zones sur l'axe des abscisses où est est croissante ou décroissante.
Dans la première ligne du tableau, indiquer le début et la fin des zones ainsi distinguées.
Dans la seconde ligne, en dessous de chaque intervalle, on indique par " " si a été croissante, " " si a été décroissante, et " " si elle a été constante. Au début ainsi qu'aux extrémités de chaque flèche, on indique les valeurs atteintes par à cet endroit.
Exemple
Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur l’intervalle par la courbe ci-dessous :
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Solution
On observe graphiquement que la courbe de descend sur et monte sur avec ; et :
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Le tableau de variation de est donc :
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Minimums et maximums
Dans certains programmes, on demande aussi de préciser les minimums et maximums des intervalles dans le tableau de variations. En voici la définition:
Définition
Le maximum d’une fonction sur un intervalle est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
Le minimum d’une fonction sur un intervalle est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
Un extremum d’une fonction sur un intervalle est un maximum ou un minimum de cette fonction sur l’intervalle .
Maximum et minimum d'une fonction
Les minimums et maximums de peuvent changer si l'intervalle change aussi.
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Commentaires
Drakostome
-1
Les images, comme les autres commentaires au dessus le disent, ne s'affichent pas. Nous ne pouvons donc répondre correctement à certaines des questions. Si vous lisez ce message merci de bien vouloir résoudre ce problème, bonne soirée.
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