Théorème de Thalès et agrandissement

Théorème de Thalès

Propriété

Théorème de Thalès

Soient deux droites $(D)$ et $(\Delta)$ sécantes en un point $A$ . Soient $B$ et $M$ deux points de $(D)$ (distincts de $A$ ) Soient $C$ et $N$ deux points de $(\Delta)$ (distincts de $A$ ).
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles alors

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

On utilise aussi la propriété de Thalès pour montrer que deux droites ne sont pas
parallèles : Si $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{ AC }$ alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Exemple

Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. $AB = 10 cm$ ; $AC = 8 cm$ ; $BC = 12 cm$ et $AN=3cm$ . Calculer les longueurs $AM$ et $MN$ .

Solution

Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \\ \frac{AM}{10} = \frac{3}{8} = \frac{MN}{12}

Calculons ${\color{green}AM}$

Calculons ${\color{purple}MN}$

Exemple

Sur la figure ci-dessous, les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles. $IE = 4cm$ ; $IG = 3,75cm$ ; $IH = 6cm$ et $GH=7,5cm$ . Calculer les longueurs $IF$ et $EF$ .

Solution

Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :

Calculons ${\color{green}IF}$

Calculons ${\color{purple}EF}$ :

Justifier que deux droites ne sont pas parallèles

Exemple

Sur la figure ci-dessous, $CF = 2,7cm$ ; $CA = 8,1cm$ ; $CG = 1,7cm$ et $CB = 6,8cm$ .

Montrer que les deux droites $(AB)$ et $(FG)$ ne sont pas parallèles.

Solution

On a

Donc

D’où d’après le théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(FG)$ ne sont pas parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

Propriété

Théorèmede thalès (réciproque)

Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes en $A$ . $B$ et $M$ sont deux points de $(D)$ distincts de $A$ . $C$ et $N$ sont deux points de $(\Delta)$ distincts de $A$ . Si les points $A$ , $B$ et $M$ d'une part, et les points $A$ , $C$ et $N$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} ​

alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Exemple

Soit la figure ci-dessous :

On donne : $AC = 5 cm$ ; $AB = 3 cm$ ; $AE = 4,2 cm$ et $EF = 2,8 cm$ . Montrer que les droites $(BE)$ et $(CF)$ sont parallèles.

Solution

On calcule premièrement $AF$ : $AF=AE+EF=4,2cm+2,8cm=7cm.$

et puisque les points $A$ , $B$ et $C$ d'une part, et les points $A$ , $E$ et $F$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(BE)$ et $(CF)$ sont parallèles.

Les différentes formes du théorème des milieux

Montrer que deux droites sont parallèles

Théorèmedes milieux

Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

Calculer une longueur connaissant des milieux

Théorèmedes milieux

Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Théorèmedes milieux

Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Exemple

On considère un triangle $EFG$ et $I$ et $J$ sont respectivement les milieux des cotés $[EF]$ et $[EG]$ . $IJ=2,5cm$ et $EF=9cm$ .

Montrer que les droites $(IJ)$ et $(FG)$ sont parallèles et calculer la distance $FG$ .
La droite $(D)$ passante par le point $J$ et parallèle à $(EF)$ coupe la droite $(FG)$ au point $K$ . Calculer la distance $FK$ .

Solution

Puisque $I$ et $J$ sont respectivement les milieux des cotés $[EF]$ et $[EG]$ alors d’après le théorème des milieux :

La droite $(D)$ passe par $J$ le milieu du coté $[EG]$ et est parallèle au coté $[EF]$ donc d’après le théorème des milieux, $(D)$ coupe le troisième coté $[FG]$ en son milieu, c'est-à-dire $K$ . $K$ est le milieu de $[FG]$ donc

FK= \frac{FG}{2} = \frac{5}{2} ​ cm=2,5cm

Agrandissement, réduction dans le plan

Définition

Quand deux figures $F$ et $F'$ ont la même forme et que les longueurs des côtés de $F'$ sont proportionnelles aux longueurs des côtés de $F$ , on dit que :

$F'$ est un agrandissement de $F$ si le coefficient de proportionnalité est supérieur à $1$ ;
$F'$ est une réduction de $F$ si le coefficient de proportionnalité est inférieur à $1$ .

Ce coefficient est appelé rapport d'agrandissement ou de réduction.

Solution

On a $(EF)//(BC)$ donc d’après le théorème de Thalès :

Donc le triangle $AEF$ est une réduction du triangle $ABC$ et le rapport de réduction est :

k= \frac{2}{3}

EF=k×BC=32×4,5cm=3cm.

Les triangles $AEF$ et $ABC$ sont deux triangles qui ont la même forme.

Mots clés à retenir : Proportionnalité, Parallélisme, Milieux, Agrandissement, Réduction.

Théorème de Thalès et agrandissement

Théorème de Thalès

Propriété

Théorème de Thalès

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Exemple

Exemple

Justifier que deux droites ne sont pas parallèles

Exemple

Réciproque du théorème de Thalès

Propriété

Théorèmede thalès (réciproque)

Exemple

Les différentes formes du théorème des milieux

Montrer que deux droites sont parallèles

Théorèmedes milieux

Calculer une longueur connaissant des milieux

Théorèmedes milieux

Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Théorèmedes milieux

Exemple

Agrandissement, réduction dans le plan

Définition

Zakiya

Zakiya

clecle.volley

Emmaw_64

Emmaw_64

Coraline

yass93

zulu_zulu_tango

KVT76HDR

Classes

Entreprise

Réseaux sociaux