Notions de médiane, quartile et étendue

Dans cette vidéo, nous allons introduire les statistiques. On va étudier ce qu'est une série statistique ainsi que sa médiane et ses quartiles.

Série statistique

Définition

Une série statistique est une suite de nombres entiers, séparés par une virgule.

Définition

Une série statistique ordonnée est une suite de nombres entiers, séparés par une virgule, dans l'ordre croissant.

Exemple

$6, 2, 3, 4, 9$ est une série statistique.
$4,7,4,4,3,1,6$ est une série statistique.
$3,4,7,8,9,10$ est une série statistique ordonnée.

Une série statistique représente un ensemble de nombres qu'on veut analyser avec les outils comme la médiane et les quartiles. On travaillera surtout avec les séries statistiques ordonnées. On peut transformer une série statistique en une série statistique ordonnée, en arrangeant les termes dans l'ordre croissant.

Exemple

• Transformer la série statistique suivante en série statistique ordonnée: $4,8,1,2,4,7,7,9$ .

On réarrange les termes dans l'ordre croissant pour obtenir la série statistique ordonnée suivante: $1,2,4,4,7,7,8,9$

• Transformer la série statistique suivante en série statistique ordonnée: $12,2,3,13,8,6,19$ .

On réarrange les termes dans l'ordre croissant pour obtenir la série statistique ordonnée suivante: $2,3,6,8,12,13,19$

Médiane

Définition

Une médiane d'une série statistique ordonnée est une valeur telle que la moitié des nombres de la série statistique y est inférieure, et la moitié y est supérieure.

La médiane est la valeur qui sépare la série statistique en deux parties égales: une moitié qui y est inférieure et une qui y est supérieure.

La médiane peut seulement être calculée dans une série statistique ordonnée.

Il y a deux cas à différencier pour calculer une médiane d'une série statistique ordonnée: le cas où la série comporte un nombre impair de termes et le cas où elle en comporte un nombre pair.

• Le cas impair

Propriété

Dans une série statistique avec $n$ termes, où $n$ est un nombre impair. la médiane est le $\dfrac{n+1}{2}$ ème terme.

Exemple

• Soit $1,4,7,8,12$ une série statistique ordonnée avec un nombre de termes impair. Calculer sa médiane.

On a $n=5$ termes dans cette série. La médiane est donc le $\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{5+1}{2} =\dfrac{6}{2}= 3$ ème terme, donc la médiane vaut $7$ .

On vérifie que la moitié des termes est inférieure et l'autre supérieure: on a bien $1<7$ , $4<7$ et $8>7$ et $12>7$ , donc $2$ termes inférieurs et $2$ termes supérieurs.

1,4,{\color{green}7},8,12

• Soit $5,2,10,14,12,15,17$ une série statistique avec un nombre de termes impairs. Calculer sa médiane.

Ce n'est pas une série statistique ordonnée. Il faut donc l'ordonner avant de calculer sa médiane. On ordonne les termes par ordre croissant ce qui nous donne la série $2,5,10,12,14,15,17$ .

On a $n=7$ termes dans cette série. La médiane est donc le $\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{7+1}{2} =\dfrac{8}{2}= 4$ ème terme, qui vaut $12$ .

On vérifie que la moitié des termes est inférieure et l'autre supérieure: on a bien $2,5,10<12$ et $14,15,17>12$ donc $3$ termes inférieurs et $3$ termes supérieurs.

2,5,10,{\color{green}12},14,15,17

• Le cas pair

Propriété

Supposons qu'on a une série statistique avec $n$ termes, où $n$ est un nombre pair. Dans ce cas, la médiane est la moyenne entre le $\dfrac{n}{2}$ ème et le terme d'après, le $\dfrac{n+1}{2}$ ème terme.

Exemple

• Soit $2,3,5,7,8,10$ une série statistique ordonnée avec un nombre de termes pair. Calculer sa médiane.

On a $n=6$ termes dans cette série. La médiane est donc le moyenne entre le $\dfrac{n}{2} =\dfrac{6}{2}= 3$ ème terme et le $4$ ème terme, donc la moyenne entre $5$ et $7$ , donc $\dfrac{5+7}{2}=\dfrac{12}{2} = 6$ . La médiane vaut donc $6$ .

On vérifie que la moitié des termes est inférieure et l'autre supérieure: on a bien $1,3,5<6$ et $7,8,10>6$ . Donc $3$ termes inférieurs et $3$ termes supérieurs.

2,3,5,{\color{green}6},7,8,10

• Soit $10,3,4,2,12,14,12,19$ une série statistique avec un nombre de termes impair. Calculer sa médiane.

Ce n'est pas une série statistique ordonnée. Il faut donc l'ordonner avant de calculer sa médiane. On ordonne les termes par ordre croissant ce qui nous donne la série $2,3,4,10,12,12,14,19$ .

On a $n=8$ termes dans cette série. La médiane est donc la moyenne entre $\dfrac{n}{2} =\dfrac{8}{2}= 4$ ème terme et le $5$ ème terme, donc $\dfrac{10+12}{2}=\dfrac{22}{2}=11$ .

On vérifie que la moitié des termes est inférieure et l'autre supérieure: on a bien $2,3,4,10 <11$ et $12,12,14,19>11$ .

2,3,4,10,{\color{green}11},12,12,14,19

Dans le cas pair, la médiane ne fait pas partie de la série statistique ordonnée.

Quartiles

Définition

Le premier quartile $Q_1$ est le permier terme de la série qui est supérieur ou égal à $25\%$ de la série statistique ordonnée.
Le deuxième quartile $Q_2$ est le premier terme de la série qui est supérieur ou égal à $50\%$ de la série statistique ordonnée.
Le troisième quartile $Q_3$ est le premier terme de la série qui est supérieur ou égal à $75\%$ de la série statistique ordonnée.

Un quartile est toujours un terme de la série statistique. On remarque aussi qu'il doit être supérieur ou égal, il est donc inclus dans le nombre de termes à qui ils est supérieur. Par exemple, dans une série de à $4$ termes $2,3,6,7$ , le $1$ er terme qui vaut $2$ est supérieur ou égal qu'à lui même, mais ca représente quand même $25\%$ de la série, c'est donc le premier quartile de cette série.

Il existe une formule pour calculer les quartiles à partir du nombre de termes de la série :

Propriété

Soit une série statistique ordonnée avec $n$ termes. On a :

$Q_1=\Bigl\lceil\dfrac{n}{4}\Bigr\rceil$
$Q_2=\Bigl\lceil\dfrac{2n}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{n}{2}\Bigr\rceil$
$Q_3=\Bigl\lceil\dfrac{3n}{4}\Bigr\rceil$

Les crochets privés de la partie du bas " $\Bigl\lceil$ " $\Bigr\rceil$ " représentent le premier entier plus grand ou égal à ce qui se trouve à l'intérieur. Par exemple, $\Bigl\lceil 0.25 \Bigr\rceil=1$ , $\Bigl\lceil 1.01 \Bigr\rceil=2$ , mais $\Bigl\lceil 1 \Bigr\rceil=1$ . On prend l'entier supérieur le plus proche de ce qui se trouve dans les crochets.

Exemple

Soit la série statistique ordonnée $1,3,4,8,10,12,12,13,16$ . Calculer ses quartiles.

C'est une série avec $n=9$ termes. On calcule donc :

{\color{green}Q_1}=\Bigl\lceil\dfrac{n}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{9}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil2.25\Bigr\rceil=3

Le premier quartile est donc le $3$ ème terme, qui vaut $4$ .

{\color{lightblue}Q_2}=\Bigl\lceil\dfrac{n}{2}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{9}{2}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil4.5\Bigr\rceil=5

Le deuxième quartile est donc le $5$ ème terme, qui vaut $10$ .

{\color{yellow}Q_3}=\Bigl\lceil\dfrac{3n}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{27}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil7.75\Bigr\rceil=8

Le troisième quartile est donc le $8$ ème terme, qui vaut $12$ .

1,3,{\color{green}4},8,{\color{lightblue}10},12,{\color{yellow}12},13,16

Exemple

Soit la série statistique ordonnée $1,5,7,8,10,13,15,17$ . Calculer ses quartiles.

C'est une série avec $n=8$ termes. On calcule donc :

{\color{green}Q_1}=\Bigl\lceil\dfrac{n}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{8}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil2\Bigr\rceil=2

Le premier quartile est donc le $2$ ème terme, qui vaut $5$ .

{\color{lightblue}Q_2}=\Bigl\lceil\dfrac{n}{2}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{8}{2}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil4\Bigr\rceil=4

Le deuxième quartile est donc le $4$ ème terme, qui vaut $8$ .

{\color{yellow}Q_3}=\Bigl\lceil\dfrac{3n}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil\dfrac{24}{4}\Bigr\rceil=\Bigl\lceil6\Bigr\rceil=6

Le troisième quartile est donc le $6$ ème terme, qui vaut $13$ .

1,{\color{green}5},7,{\color{lightblue}8},10,{\color{yellow}13},15,17

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Moyenne et Moyenne Pondérée d'une Série Statistique

Caractéristiques d'une Série Statistique

Probabilités

Modalité, fréquence d’apparition et moyenne

Notions de médiane, quartile et étendue

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