Dans ce chapitre, nous allons voir ce que sont les fonctions sinus, cosinus et tangente et comment nous en servir pour calculer une longueur dans un triangle rectangle.
Considérons un triangle rectangle rectangle en avec l'hypoteneuse . On note , et les angles de ce triangle (graphique ci-dessous).
On appelle le côté opposé d'un angle le côté qui fait face à cet angle.
On appelle le côté adjacent d'un angle celui qui est à côté mais n'est pas l'hypoténuse.
Si on note la longueur du côté adjacent, la longueur de l'hypoteneuse et la longueur du côté opposé, nous avons:
Le sinus d'un angle est défini par:
Le cosinus d'un angle est défini par:
La tangente d'un angle est définie par:
Soit un triangle rectangle rectangle en avec les angles , et (figure ci-desous). Ecrire les sinus, cosinus et tangente des angles et .
Le cosinus de l’angle , noté , e
Le cosinus de l’angle , noté , est :
Le sinus de l’angle , noté , est :
Le sinus de l’angle , noté , est:
La tangente de l’angle , noté , est :
La tangente de l’angle , noté , est :
Les sinus, cosinus et tangente d'un angle est donc le rapport de longueurs de deux côtés du triangle rectangle. Mais ce sont aussi des fonctions qu'on peut cacluler avec une calculatrice, il suffit d'appuyer sur les boutons , ou et rentrer le nombre de degrés de l'angle pour obtenir leur sinus, cosinus ou tangente.
Imaginons qu'on nous donne la mesure d'un des angles du triangle ainsi que la longueur d'un de ses côtés. On peut à partir de cela déterminer toutes les autres longueurs de ce triangle. Voici la marche à suivre:
Repérer la formule trigonométrique qui contient l'angle et le côté connu, ainsi que le côte qu'on cherche.
En déduire le côté inconnu de la formule en utilisant le produit en croix.
Soit le triangle rectangle rectangle en . On sait que l'angle vaut degrés et que le côté vaut . Trouver la longueur du côté .
Le côté connu est adjacent l'angle et le côté est l'hypoténuse. La formule trigonométrie à utiliser est
et donc on peut appliquer le produit en croix pour trouver l'hypoténeuse
Soit le triangle rectangle rectangle en . On sait que l'angle vaut degrés et que le côté vaut . Trouver la longueur du côté .
Le côté connu est adjacent l'angle et le côté est l'opposé. La formule trigonométrie à utiliser est
et donc on peut appliquer le produit en croix pour trouver le côté opposé