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Comment calculer une longueur avec le cosinus, sinus et la tangente

Sommaire
jouerSinus, Cosinus, Tangente
jouerCalculer une longueur

Dans ce chapitre, nous allons voir ce que sont les fonctions sinus, cosinus et tangente et comment nous en servir pour calculer une longueur dans un triangle rectangle.

Sinus, cosinus, tangente

Considérons un triangle rectangle ABCABC rectangle en AA avec l'hypoteneuse BCBC. On note aa,bb et cc les angles de ce triangle (graphique ci-dessous).

Définition

On appelle le côté opposé d'un angle le côté qui fait face à cet angle.

On appelle le côté adjacent d'un angle celui qui est à côté mais n'est pas l'hypoténuse.

Si on note ADJADJ la longueur du côté adjacent,HYPHYP la longueur de l'hypoteneuse et OPPOPP la longueur du côté opposé, nous avons:

Définition

Le sinus d'un angle α\alpha est défini par:

sin(α)=OPPHYPsin(α)= \frac{OPP}{HYP}

Le cosinus d'un angle α\alpha est défini par:

cos(α)=ADJHYPcos(α)= \frac{ADJ}{HYP}

La tangente d'un angle α\alpha est définie par:

tan(α)=OPPADJtan(α)= \frac{OPP}{ADJ}
lumix

Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est SOH-CAH-TOA, qui fait référence à la première lettre de chaque expression.

Exemple

Soit un triangle rectangle ABCABC rectangle en AA avec les angles aa,bb et cc (figure ci-desous). Ecrire les sinus, cosinus et tangente des angles bb et cc.

Le cosinus de l’angle bb, noté cos(b)cos(b), e

cos(b)=ABBCcos(b) = \frac{AB}{BC}

Le cosinus de l’angle cc, noté cos(c)cos(c), est :

ACBC\frac{AC}{BC}

Le sinus de l’angle bb, noté sin(b)sin(b), est :

sin(b)=ACBCsin(b)= \frac{AC}{ BC} ​

Le sinus de l’angle cc, noté sin(c)sin(c), est:

sin(c)=ABBCsin(c)= \frac{AB}{ BC} ​

La tangente de l’angle bb, noté tan(b)tan(b), est :

tan(b)=ABBCtan(b)= \frac{AB}{ BC} ​

La tangente de l’angle cc, noté tan(c)tan(c), est :

tan(c)=ABBCtan(c)= \frac{AB}{BC} ​

Les sinus, cosinus et tangente d'un angle est donc le rapport de longueurs de deux côtés du triangle rectangle. Mais ce sont aussi des fonctions qu'on peut cacluler avec une calculatrice, il suffit d'appuyer sur les boutons coscos,sinsin ou tantan et rentrer le nombre de degrés de l'angle pour obtenir leur sinus, cosinus ou tangente.

Calculer une longueur à partir d'un angle

Imaginons qu'on nous donne la mesure d'un des angles du triangle ainsi que la longueur d'un de ses côtés. On peut à partir de cela déterminer toutes les autres longueurs de ce triangle. Voici la marche à suivre:

  1. Repérer la formule trigonométrique qui contient l'angle et le côté connu, ainsi que le côte qu'on cherche.

  2. En déduire le côté inconnu de la formule en utilisant le produit en croix.

Exemple

Soit le triangle rectangle ABCABC rectangle en AA. On sait que l'angle bb vaut 6060 degrés et que le côté ABAB vaut 33. Trouver la longueur du côté BCBC.

Le côté connu ABAB est adjacent l'angle bb et le côté BCBC est l'hypoténuse. La formule trigonométrie à utiliser est

cos(b)=ABBCcos(b)= \frac{AB}{BC} ​

et donc on peut appliquer le produit en croix pour trouver l'hypoténeuse BCBC

BC=ABcos(b)=3cos(60)=6BC= \frac{AB}{cos(b)} = \frac{3}{cos(60)} = 6

Soit le triangle rectangle ABCABC rectangle en AA. On sait que l'angle cc vaut 4545 degrés et que le côté ACAC vaut 44. Trouver la longueur du côté ABAB.

Le côté connu ACAC est adjacent l'angle cc et le côté ABAB est l'opposé. La formule trigonométrie à utiliser est

tan(c)=ABACtan(c)= \frac{AB}{AC}​

et donc on peut appliquer le produit en croix pour trouver le côté opposé ACAC

AC=ABtan(c)=4tan(45)=4AC= \frac{AB}{tan(c)}=\frac{4}{tan(45)} = 4 ​
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Commentaires

Océane

-1
il y a 5 ans
soh cah toa
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Annie

0
il y a 5 ans
ou cah soh toa
Répondre

deborah

0
il y a 5 ans
merci bcp
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coco24

-1
il y a 5 ans
trop dure dsl mais je comprend pas je trouve sa nul que je comprenne pas nnnnnnn...........................................;P
Répondre

coco24

-1
il y a 5 ans
;P
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Sarah

1
il y a 5 ans
c'est plus simple de retenir en disant CAH SOH TOA genre casse toi c'est trash mais efficace
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takismile

0
il y a 5 ans
imagine que tu diss juse 'casse toi' version CAH SOH TOA
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