Repérage dans le Plan

Repère du plan

Définition

Trois points $O$ , $I$ et $J$ , non alignés, définissent un repère du plan noté $(O,I,J)$ .

Un premier item...
La droite graduée $(OI)$ est l’axe des abscisses.
La droite graduée $(OJ)$ est l’axe des ordonnées.

Remarque

Les deux distances $OI$ et $OJ$ sont appelées unités du repère $(O,I,J)$ .

Définition

Si les deux axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont orthogonaux, le repère $(O,I,J)$ est dit orthogonal.

Si les deux distance $OI$ et $OJ$ sont égales à ${\color{green}1}$ , le repère $(O,I,J)$ est dit normé.

Un repère à la fois orthogonal et normé est dit orthonormé.

Coordonnées dans un repère du plan

Définition

Le plan $(P)$ est muni d'un repère $(O,I,J)$ . Pour tout point $M$ du plan $(P)$ , il existe deux uniques points $P_x \in (OI)$ et $P_y\in (OJ)$ tels que $OP_xMP_y$ est un parallélogramme. On associe à $M$ deux réels $x$ et $y$ :

Un premier item...
Un second...
(x;y) est appelé couple de coordonnées de $M$ dans le repère $(O,I,J)$ .

Exemple

Reproduire le repère $(O; I, J)$ ci-dessous.

Lire les coordonnées des points $A$ et $B$ .

Placer dans le plan, le point $E$ de coordonnées $(4; 1,5)$ et le point $F$ de coordonnées $(-2;-2,5)$ .

Solution

Le couple de coordonnées de $A$ est $(2 ; 3)$ :
Le couple de coordonnées de $B$ est $(-1 ; 2,5)$ :

Voir la figure ci-dessous.

Coordonnées du milieu d'un segment

Propriété

Le plan est muni d'un repère $(O,I,J)$ quelconque dans lequel le point $A$ a pour coordonnées $(x_A , y_A)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(x_B , y_B)$ . Les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont

Exemple

Le plan $(P)$ est muni d’un repère $(O,I,J)$ .

Soient $A(5; 7)$ et $B(-3; 2)$ deux points du plan $(P)$ . Calculer les coordonnées du milieu du segment $[AB]$ .
Soient $E(2; -1)$ et $K(4; 2)$ deux points du plan. Déterminer les coordonnées du point $F(x; y)$ tel que $K$ est le milieu de $[EF]$ .

Solution

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ .

D’où : $I(1 ; 4,5)$ .

Finalement $F(6; 5)$ .

Distance entre deux points

Propriété

Le plan est muni d'un repère $(O,I,J)$ orthonormé dans lequel le point $A$ a pour coordonnées $(x_A , y_A)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(x_B , y_B)$ . La distance $AB$ s'exprime ainsi :

AB= \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$ . Calculer la distance $AH$ séparant les deux points $A(8; -2)$ et $H(-2; 4)$ .

Solution

D'Après la Propriété

Mots clés à retenir : Axes, Orthonormé, abscisses, ordonnées, Parallélisme

Repérage dans le Plan

Repère du plan

Définition

Remarque

Définition

Coordonnées dans un repère du plan

Définition

Exemple

Coordonnées du milieu d'un segment

Propriété

Exemple

Distance entre deux points

Propriété

Exemple

oumouzane

Bastien Dawg

louloutte123

Mathilde

odelleob

Hodaburguer

Black Z

Black Z

Classes

Entreprise

Réseaux sociaux