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Les puissances

Définitions

Puissances d'exposant positif

Définition

Soit aa un nombre et nn un entier naturel.

a×a×an facteurs  s’eˊcrit  an \underset{n\ \text{facteurs}}{\underbrace{a\times a\times … a}} \ \text{ s’écrit }\ a^n
  • ana^n se lit « aa puissance nn » ou « aa exposant nn ».

  • ana^n est appelé puissance neˋmen^{ème} de aa.

  • nn est appelé l'exposant.

lumix
  • Par convention a0=1.a^0=1.

  • a1=a.a^1=a.

  • a2a^2 se lit « aa au carré ».

  • a3a^3 se lit « aa au cube ».

Exemple

34=3×3×3×3=81;(2)3=(2)×(2)×(2)=8.3^4= 3\times 3\times 3\times 3=81 \quad ; \quad (-2)^3= (-2) \times (-2)\times (-2)=-8.

Puissances d'exposant négatif

Définition

Si aa est non nul, alors par définition

1an  s’eˊcrit  an. \frac 1 {a^n} \ \text{ s’écrit }\ a^{-n}.
lumix
  • ana^{-n} est l'inverse de ana^n, soit an=1ana^{-n}=\dfrac 1 {a^n} .

  • Cas particulier, a1=1aa^{-1}=\dfrac 1 a.

Exemple

  • 42=142=14×4=1164^{-2}= \dfrac 1 {4^2}=\dfrac 1 {4\times 4}=\dfrac 1 {16}

  • (5)3=1(5)3=1(5)×(5)×(5)=1125=1125.(-5)^{-3}=\dfrac 1 {(-5)^3}=\dfrac 1 {(-5) \times (-5) \times (-5)}=\dfrac 1 {-125}=-\dfrac 1 {125}.

Signe d'une puissance

Propriété

Soit aa un nombre et nn un entier relatif.

  • Si aa est positif alors ana^n est positif.

  • Si aa est négatif alors

  • ana^n est positif si nn est pair.

  • ana^n est négatif si nn est impair.

Exemple

  • Les deux puissances 727^2 et 535^3 sont positives parce que leurs bases 77 et 55 sont positives.

  • (9)2(-9)^2 est positif car l’exposant 22 est pair.

  • (2)3(-2)^3 est négatif car l’exposant 33 est impair.

Priorités

Propriété

Dans un enchaînement de calculs, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions et finalement les additions et les soustractions.

Exemple

Calculons A=1+(236)×1024×24A=1+(2^3-6)\times 10^2-4\times 2^4.

A=1+(236)×1024×24=1+(86)×1024×24=1+2×1024×24=1+2×1004×16=1+20064=137\begin{aligned} A&=1+(2^3-6)\times 10^2-4\times 2^4\\ &=1+({\color{green}8}-6)\times 10^2-4\times 2^4\\ &=1+{\color{green}2}\times 10^2-4\times 2^4\\ &=1+2\times {\color{green}100}-4\times {\color{green}16}\\ &=1+{\color{green}200}-{\color{green}64}\\ &={\color{green}137}\\ \end{aligned}

Puissances de 10

Propriété

Pour tout entier naturel nn

10n=100n zeˊroset10n=0,00n zeˊros1.10^n=1\underset{n\ \text{zéros}}{\underbrace{0…0}} \qquad \text{et} \qquad 10^{-n}=\underset{n\ \text{zéros}}{\underbrace{0,0…0}}1.

Exemple

105=100000;103=0,001.10^5=100000 \qquad ; \qquad 10^{-3}=0,001.

Formule des Puissances (Cas des puissances de 10)

Propriété

Soient mm et nn deux entiers relatifs quelconques

10m×10n=10m+n;10m10n=10mn;(10m)n=10m×n. 10^m\times 10^n = 10^{m+n} \qquad ; \qquad \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n} \qquad ; \qquad \left(10^m \right)^n=10^{m \times n}.

Exemple

Calculons les nombres

A=102×103;B=10410;C=107105;D=(106)8A=10^2\times 10^3 \quad; \quad B=\frac{10^4}{10} \quad; \quad C=\frac{10^7}{10^5} \quad; \quad D=\left(10^6 \right)^8
A=102×103=102+3=105=100000; A=10^2\times 10^3 = 10^{2+3} = 10^{5}=100000;
B=10410=104101=1041=103=1000; B=\frac{10^4}{10} = \frac{10^4}{10^1} = 10^{4-1}=10^{3}=1000;
C=107105=1075=102=100; C=\frac{10^7}{10^5} = 10^{7-5}=10^2=100;
D=(106)8=106×8=1048. D=\left(10^6 \right)^8=10^{6 \times 8}=10^{48}.

Ecriture scientifique

Définition

L'écriture scientifique d'un nombre non nul est la seule écriture de la forme a×10na\times 10^nnn est un entier relatif et aa est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul à gauche de la virgule. aa est appelé mantisse du nombre.

Exemple

3470=3,470×1000=3,470×103; 3 470=3,470 \times 1000 = 3,470 \times 10^3;
0,01965=1,965÷100=1,965×102. 0,01965=1,965 \div 100 = 1,965 \times 10^{-2}.

Propriété

Pour comparer deux nombres en écriture scientifique :

  • On compare d'abord leurs signes (le positif est plus grand que le négatif).

  • S'ils ont le même signe, on compare les exposants de leur puissance de 1010. Celui qui a le plus grande exposant est le plus grand.

  • Si les exposants sont les mêmes, on compare les mantisses.

Exemple

  • 3,26×104<1,059×1073,26 \times 10^4 < 1,059 \times 10^7 car 4<74<7.

  • 7,4801×1011>7,332×10117,4801 \times 10^{11} > 7,332 \times 10^{11} car ils ont le même exposant de 1010 et 7,4801>7,3327,4801 > 7,332.

Propriété

La multiplication et la division de nombres en notation scientifique se font en trois étapes :

  • Déterminer le signe du résultat final.

  • Regrouper les puissances de 10 dans une seule puissance.

  • Effectuer le calcul des mantisses.

Exemple

6×103×1,5×104=(6×1,5)×(103×104)=9×103+4=9×107.\begin{aligned} 6\times 10^3 \times 1,5\times 10^4 &=(6 \times 1,5)\times (10^3\times10^4)\\ &=9 \times 10^{3+4}\\ &=9 \times 10^7.\\ \end{aligned}
12×1093×104=123×109104=4×1094=4×105\begin{aligned} \frac {12\times 10^9}{3\times 10^4} &=\frac {12}{3} \times \frac {10^9}{10^4}\\ &=4 \times 10^{9-4}\\ &=4 \times 10^5\\ \end{aligned}

Formule des Puissances Généralisée

Propriété

Soient xx un nombre et mm et nn deux entiers relatifs.

xm×xn=xm+n;xmxn=xmn;(xm)n=xm×n. x^m\times x^n = x^{m+n} \qquad ; \qquad \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \qquad ; \qquad \left(x^m \right)^n=x^{m \times n}.

Propriété

xn×yn=(x×y)n.x^n \times y^n=(x \times y)^n.
lumix

Mots clés à retenir : Puissance, 10, Signe, Ecriture, Scientifique, Comparaison

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