Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Dans un plan, considérons une droite $(\Delta)$ et un point $M$ . Traçons $(\mathcal{D})$ , la perpendiculaire à $(\Delta)$ passant par $M$ .

Définition

On appelle projeté orthonal de $M$ sur la droite $(\Delta)$ , le point de rencontre entre $(\Delta)$ et sa perpendiculaire passant par $M.$

Propriété

Le projeté orthogonal de $M$ sur $\,$ $(\Delta)$ est le point de $(\Delta)$ le plus proche de $M$ $.$

$\underline{\textbf{Preuve}}:$

Appelons $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(\Delta)$ .

Si $M\in (\Delta)$ alors $M=H \qquad \blacksquare$
Si $M\notin(\Delta)$ , considérons un point quelconque $B$ de $(\Delta)$ distinct de $H.$ Le triangle $MHB$ est un triangle rectangle en $H$ ; d'après la propriété de PYTHAGORE : $MB^2=MH^2+HB^2$ , et par conséquent on a : $MB^2>MH^2$ $i.e.$ $MB>MH.$ $\quad \blacksquare$

On vient de montrer que pour n'importe quel point de $(\Delta)$ , sa distance au point $M$ est supérieur ou égal à $MH$

Quelques applications

Grâce au projeté orthogonal d'un point sur une droite, on démontre le théorème d'Al-Kashi.

Théorème

Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur opposée à un angle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces mêmes côtés et du cosinus de l'angle.

Donc, si on considère un triangle $ABC$ tel que : $AB=c$ , $AC=b$ et $BC=a$ ; on a les relations suivantes :

$c^2=a^2+b^2-2ab\,cos(\widehat{C})$
$b^2=a^2+c^2-2ac\,cos(\widehat{B})$
$a^2=b^2+c^2-2bc\,cos(\widehat{A})$

Propriété

Considérons un triangle $ABC$ tel que : $AB=c$ , $AC=b$ et $BC=a$

L'aire $A_T$ de ce triangle est donné par :

A_T=\dfrac{1}{2}ab\,sin(\widehat{C})

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