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L'orthogonalité dans l'espace

Définition

Le produit scalaire de u\vec{u} et de v\vec{v}, noté u.v\vec{u}.\vec{v} (qui se lit u\vec{u} scalaire v\vec{v}), est défini par :

u.v=12(u+v2u2v2)\vec{u}.\vec{v} = \frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2)
lumix

Attention : le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, et pas un vecteur.

Propriété

Le produit scalaire de deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} dans l’espace est leur produit scalaire dans un plan les contenant.

Propriété

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Propriété

Soit u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}. Le produit scalaire de u\vec{u} et v\vec{v} est donné par :

u.v=xx+yy.\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'.

Propriété

Pour deux vecteurs non nuls u\vec{u} et v\vec{v} et trois points A,BA, B et CC distincts du plan.

  • u.v=u×v×cos(u,v)\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u},\vec{v}).

  • AB.AC=AB×AC×cos(AB,AC)\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).

Définition

On dit que deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux, ce que l'on note uv\vec{u} \perp \vec{v}, si, et seulement si, u.v=0\vec{u}.\vec{v} = 0.

Définition

Dans le plan, on considère une droite (AB)(AB) et un point CC extérieur à cette droite. HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB) est l'intersection de (AB)(AB) et de la perpendiculaire (AB)(AB) passant par CC.

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Commentaires

Hanen

0
il y a 4 ans
C est égal à 0
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