Produit scalaire dans l'espace

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$.

Alors $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ et $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz'$.

Soient $\vec{u},\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs et $\lambda$ un réel. Alors :

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un de ses vecteurs directeurs est un vecteur normal du plan.

Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d’un plan alors c’est un vecteur normal à ce plan.

Soit $\vec{n}$ un vecteur normal à un plan $(P)$. Alors, tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal de $(P)$.

Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l’un est un vecteur normal de l’autre.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.

Soient $\vec{n}$ un vecteur non nul, $A$ un point et $(P)$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $vec{n}$. Alors un point $M$ appartient à $(P)$ si et seulement si $\vec{n}.\overrightarrow{AM} = \vec{0}$.

Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace vérifiant une relation du type

avec $a,b$ et $c$ non simultanément nuls est un plan que l'on note $(P)$. On dit que $(P)$ a pour équation $ax + by + cz +d = 0$, appelée équation cartésienne du plan et de plus $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $(P)$.