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Arbre et modèle équiréparti

Dans cette vidéo, nous allons voir ce qu'est un arbre de probabilités et comment en construire un.

Un arbre de probabilité est une façon graphique de représenter les expériences aléatoires. On note les issues de chaque expérience avec des segments appelés branches en partant d'un point appelé la racine. On notera les probabilités de chaque issue au dessus de chaque branche.

Exemple

On souhaite représenter un jet de pièce pile ou face avec un arbre de probabilités.

On part de la racine pour dessiner les deux branches des issues possibles, pile et face. On note la probabilité de l'issue p=0.5p=0.5 à coté de chaque branche.

[GRAPH]

lumix

La somme des probabilités sur les branches doit toujours valoir 11.

Imaginons maintenant qu'on veuille représenter une expérience deux jets de pièce. On peut aussi le faire avec un arbre de probabilités. Les issues possible de cette expérience sont {PP,PF,FP,FF}\{PP,PF,FP,FF\} avec PP pour pile et FF pour face. Chaque issue vaut p=0.5×0.5=0.25p=0.5 \times 0.5=0.25.

On peut aussi le voir comme suit: une fois le premier jet terminé, supposons qu'on ait obtenu pile. Il y a ensuite deux possibilités, pile ou face. C'est donc comme si on avait un seul jet de pièce, mais en prenant l'issue pile comme racine de notre arbre. Cet arbre représente les issues {PP,PF}\{PP,PF\} :

[GRAPH]

On fait la même chose, mais en supposant que notre premier jet a cette fois-ci a atterri sur face. Cet arbre représente les issues {FP,FF}\{FP,FF\} :

[GRAPH]

Mais comme on voudrait dessiner un arbre pour deux jets de pièce, on ne connaît pas l'issue de la première expérience. Or les arbres dessinés mis ensemble représentent toutes les issues, {PP,PF,FP,FF}\{PP,PF,FP,FF\}. On les met ensemble de cette manière :

[GRAPH]

On voit donc qu'à chaque issue de l'expérience, on doit dessiner un nouvel arbre en prenant l'issue comme la racine. On dit que chaque issue d'un arbre de plusieurs niveaux est un chemin sur l'arbre des probabilités.

Pour calculer les probabilités sur un arbre avec plusieurs niveaux de branches, on multiplie les probabilités quand on passe d'une branche à une autre. Dans notre exemple on a bien 0.5×0.5=0.250.5 \times 0.5 = 0.25 en passant les branches, ce qui correspond à la probabilité des issues.

Si on souhaite mettre ensemble deux issues d'une expérience, par exemple si on souhaite connaître la probabilité de l'événement "le 22ème jet tombe sur face", les issues possibles sont {PF,FF}\{PF,FF\}, ayant pour probabilité p=0.25p=0.25 chacune. Cet événement a p=0.5p=0.5 d'arriver, car le nombre d'issues est 22 et le nombre d'issues total est 44, et le quotient de 22 et 44 vaut 0.50.5. Sur notre arbre cela revient à additionner les probabilités des chemins qui finissent par "Face", car on veut la probabilité de l'événement "22ème jet tombe sur face". On obtient donc 0.25+0.25=0.50.25 + 0.25 =0.5.

[GRAPH]

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