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Fonctions: Images et Antécédents

Dans ce chapitre, nous allons étudier les fonctions, l'image d'une fonction et les antécédents d'une fonction. Une fonction représente une transformation d'un nombre envers un autre.

Fonctions

Prenons un exemple concret avec une machine à boulons. On entre des bouts de fer dans une machine qui sont transformés en boulons. Chaque bout de fer correspond à un boulon. Une fonction fait le travail équivalent à celui de la machine, sauf qu' la place des bouts de fers et des boulons, nous avons des nombres. On entre un nombre dans la fonction, et elle le transforme en un autre nombre.

Définition

Une fonction ff permet d'associer à tout nombre xx d'un ensemble DD un nombre unique f(x)f(x).

    • Le nombre xx est appelé la variable de la fonction ff

    • Le nombre f(x)f(x) est appelé image de xx par ff.

    • L'ensemble DD est appelé ensemble de définition de la fonction ff.

    Il y a donc toujours une relation entre deux nombres quand on parle de fonction, l'antécédent et l'image. L'antécédent représente le nombre de départ, et une fois transformé par ff il devient l'image.

    Dans notre exemple d'usine de boulons, xx est le bout de fer, f(x)f(x)est le boulon, et ff est la machine qui transforme le fer en boulon. Que représente DD? Etant donné que la machine fait des boulons de fer, et DD représente l'ensemble de tout ce qu'on peut mettre dans la machine, DD représente donc le fer.

    Images

    Définition

    Soit ff une fonction et DD son domaine de défintion et aDa \in D. L'image de aa par la fonction ff est le nombre f(a)f(a). Il est unique pour chaque aDa \in D.

    L'image d'un nombre quelconque aa par ff est simplement f(a)f(a). C'est le nombre aa transformé par ff.

    Exemple

    Soit f(x)=3+xf(x) = 3+x. Trouver l'image de 22.

    On doit trouver f(2)f(2), ce qui revient à remplacer xxpar 22 dans f(x)f(x), ce qui nous donne f(2)=3+2=5f(2) = 3+2 =5

    Soit f(x)=x2+5f(x) = x^2+5. Trouver l'image de 33.

    On doit trouver f(3)f(3), ce qui revient à remplacer xxpar 33 dans f(x)f(x), ce qui nous donne f(2)=32+5=9+5=14f(2) = 3^2+5 =9+5=14.

    lumix

    Tout élément de l'ensemble de définition DD a une telle image et celle-ci est unique. Ça veut dire qu'on ne peut pas avoir un nombre transformé par ff en deux nombres distincts.

    Imaginons maintenant qu'on a affaire à une fonction ff représentée sur un graphe. On aimerait à partir de la valeur de l'antécédent, pouvoir déduire directement sur le graphique la valeur de l'image. Voici la marche à suivre:

    1. On trace une droite verticale à partir de l'antécédent dont on veut trouver l'image .

    2. On note l'unique intersection entre cette droite et le graphe de ff.

    3. On trace une droite horizontale en ce point. L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées nous donne l'image recherchée.

    Exemple

    Calculer l'image de 2.5-2.5 pour le graphe de ff ci-dessous.

    Texte alternatif
    1. On trace une droite verticale à partir de (2.5;0)(-2.5;0), car on cherche l'image de 2.5-2.5.

    2. On note l'unique intersection entre cette droite et le graphe de ff, qui est le point AA.

    3. On trace une droite horizontale en AA. L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées nous donne 11, qui est l'image recherchée.

    lumix

    On fait toujours le même chemin! Verticale \updownarrow jusqu'à l'intersection avec la courbe , et horizontale \longleftrightarrowjusqu'à l'intersection avec l'axe des ordonnées.

    Antécédents

    Définition

    Considérons une fonction ff et deux nombres aa et bb tels que f(a)=bf(a)=b.

    L'antécédent de bb par ff est le nombre aa

    L'antécédent peut être considéré comme l'inverse d'une image. L'image est connue et on cherche quel nombre a été transformé par ff pour arriver à cette image.

    lumix

    L’antécédent n'est pas forcément unique. Prenons f(x)=x2f(x)=x^2 et regardons l'antécédent de 99. On a 32=32=9-3^2 = 3^2 = 9, donc f(3)=f(3)f(3)=f(-3). Il y a donc deux antécédents de 99 par f(x)=x2f(x) =x^2.

    Exemple

    Soit f(x)=5xf(x) = 5x. Trouver l'antécédent de 1010.

    On connaît la valeur de l'image f(a)=10f(a)=10. On cherche donc un nombre aa tel que f(a)=5a=10f(a) = 5a = 10, ce qui implique que a=2a=2.

    Soit f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. Trouver l'antécédent de 66.

    On connaît la valeur de l'image f(a)=6f(a)=6. On cherche donc un nombre aa tel que f(a)=a2+2=6f(a) = a^2 + 2 =6, donc a2=4a^2=4, et ainsi a=2a=2 ou a=2a=-2.

    lumix

    Il ne faut pas confondre antécédent et variable. La variable xx est n'importe quel nombre du domaine de définition DD, alors que l'antécédent de f(a)=bf(a)=b est un ou plusieurs nombres dont l'image par ff vaut bb

    Pour lire les antécédents sur un graphique, la marche à suivre est la suivante:

    1. On trace une droite horizontale à partir de la valeur de l'image dont on cherche l'antécédent.

    2. On note toutes les intersections entre cette droite et le graphe de ff.

    3. On chaque intersection, on trace une droite verticale et on lit la valeur de l'intersection avec l'axe des abscisses.

    Exemple

    Calculer les antécédents de 22 pour le graphe de ff ci-dessous:

    Texte alternatif

    On applique la méthode :

    1. On trace la droite horizontale en (0;2)(0;2), car on cherche les antécédents de 22.

    2. On note toutes les intersections entre cette droite et la courbe de ff, ici T,U,V,WT,U,V,W.

    3. On trace une droite verticale en chaque point. On obtient les valeurs des antécédents en regardant l'intersection avec l'axe des abscisses.

    lumix

    On fait toujours le même chemin! Horizontal \longleftrightarrowjusqu'à l'intersection avec la courbe, et ensuite verticale \updownarrow jusqu'à l'intersection avec l'axe des abscisses.

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