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SecondeMathématiquesManipulation des nombres réels
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Ensembles des nombres décimaux et des nombres rationnels

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Ensemble des nombres réels

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Intervalles de R

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Ensemble D\mathbb{D} des nombres décimaux

Définition

On appelle nombre décimal, un nombre composé de deux parties : une partie entière situé avant la virgule et une partie décimale limité (finie)

Exemple

0,75 ; 1,33 ; 12,1789563789 sont des nombres décimaux.

lumix

Avoir une infinité de l'unique chiffre "0" revient à un seul "0" ; par exemple 5,000000000000000…⏟infiniteˊ5,\underset{infinité}{\underbrace{000000000000000\ldots}} est 5,05,0. Donc, on ne pourrait dire que 5,0000000000000000…⏟infiniteˊ5,\underset{infinité}{\underbrace{0000000000000000\ldots}} n'est pas un nombre décimal.

lumix

  • Tout entier naturel aa s'écrit "a,0a,0 " c'est pourquoi N⊂D\mathbb{N}\subset \mathbb{D}

  • Tout nombre décimal peut se mettre sous la forme a10n\dfrac{a}{10^n} où a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}

lumix

D={a10n:a∈Zetn∈N}\mathbb{D}= \left\lbrace \dfrac{a}{10^n}: a\in\mathbb{Z}\quad et \quad n\in\mathbb{N} \right\rbrace

Exercice‾\underline{Exercice} : Prouvons que 13∉D\dfrac{1}{3}\notin\mathbb{D} grâce au raisonnement par l'absurde.

Supposons que 13∈D\dfrac{1}{3}\in\mathbb{D}. Alors il existe a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N} tels que : 13=a10n\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n}, donc : 10n=3×a=3a10^n=3\times a=3a (\left( \right.i.e.i.e.10n10^n est multiple de 33)\left.\right). Ce qui est absurde ou contradictoire puisque la somme des chiffres de 10n10^n qui vaut 11 n'est pas divisible par 3.3. ■ \blacksquare

lumix

En vertu de la définition, le nombre 1,6666666666666…⏟infiniteˊ1,\underset{infinité}{\underbrace{6666666666666\ldots}} n'est pas un nombre décimal

Ensemble Q\mathbb{Q} des nombres rationnels..

Définition

On appelle nombre rationnel, un nombre qui se met sous la forme ab\dfrac{a}{b} où a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈Z∗b\in\mathbb{Z^*}..

Exemple

13\dfrac{1}{3};; 32\dfrac{3}{2};; 2103\dfrac{2}{10^3} sont des nombres rationnels.

lumix

  • Tout nombre décimal se met sous la forme a10n\dfrac{a}{10^n},, c'est pourquoi D⊂Q\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}   \,

  • Tout nombre de la forme ab\dfrac{a}{b},, avec a∈Za\in\mathbb{Z} et  et\,b∈Z∗ b\in\mathbb{Z^*} s'écrit de manière unique sous la forme d'une fraction irréductible cd\dfrac{c}{d} , c'est-à-dire : ab=cd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} avec PGCD(c,d)=1PGCD(c,d)=1

lumix

Q={ab:a∈Z, b∈Z∗, PGCD(a,b)=1}\mathbb{Q}=\left\lbrace \dfrac{a}{b} : a\in\mathbb{Z},\, b\in\mathbb{Z^*},\, PGCD(a,b)=1\right\rbrace

Propriété

Tout nombre ayant une partie décimale infinie et périodique (des nombres se répètent à partir d'un certain rang éventuellement) se met sous la forme ab , a∈Z et b∈Z∗\dfrac{a}{b}\, ,\, a\in\mathbb{Z}\,et\, b\in\mathbb{Z^*}

Exemple

a=24,1324⏟324⏟324⏟…a=24,1\underbrace{324}\underbrace{324}\underbrace{324}\ldots est un nombre rationnel car sa partie décimale est infinie et le nombre 324324 se répète

lumix

Comment écrire de tels nombres sous la forme ab ?\dfrac{a}{b}\, ?

Soit xx un tel nombre.

  • Identifier le chiffre ou le nombre qui se répète périodiquement

  • Multiplier xx par une puissance de 1010 de telle manière à ce que la partie décimale du nouveau nombre yy soit constituée uniquement du << chiffre ou nombre périodique >>

  • Si les nombres xx et yy ont leur partie décimale constituée uniquement du << chiffre ou nombre périodique >>, alors y−xy-x sera la différence des parties entières de yy et xx

  • Si après l'étape 22, la partie décimale du nombre yy diffère de celle de xx, multiplier yy par 10n10^n où nn est égale au nombre de chiffres du << nombre périodique >> pour obtenir un nouveau nombre zz , ensuite faire la différence z−yz-y

lumix

Il existe des nombres bien connus grâce à la géométrie qui ne sont pas rationnels.

Exemple

  • Le périmètre d'un cercle de rayon 12\dfrac{1}{2} ou l'aire d'un cercle de rayon 11

  • La longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle et isocèle, dont les autres côtés ont pour longueur 11

Les nombres n'étant pas rationnels sont dit irrationnels.

Définition

On appelle nombre irrationnel, un nombre qui ne peut être mis sous la forme d'un rapport de deux entiers.

Propriété

Un nombre ayant une partie décimale inifinie et non périodique n'est pas rationnel.

Exercice‾\underline{Exercice} : Prouvons que 2∉Q\sqrt{2}\notin\mathbb{Q} grâce au raisonnement par l'absurde

Supposons que 2=ab  avec   a∈Z, b∈Z∗\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\,\,avec\,\,\, a\in\mathbb{Z}, \,b\in\mathbb{Z^*} où ab\dfrac{a}{b} est irréductible. Alors 2=a2b22=\dfrac{a^2}{b^2}, c'est-à-dire que a2=2b2a^2=2b^2 . Ainsi, a2a^2 est un entier naturel pair, et par conséquent aa est pair. Comme a=2p, p∈Za=2p,\,p\in\mathbb{Z} et a2=2b2a^2=2b^2 par suite 2b2=4p22b^2=4p^2 et on conclut également que bb est pair. La fraction ab\dfrac{a}{b} est simplifiable par 22 puisque le numérateur et le dénominateur sont pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de ab\dfrac{a}{b} supposé dès le départ.  \,

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Commentaires

fantasy

0
il y a 3 ans
le cour est super comprehensible !!
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sanae17

0
il y a 3 ans
le cour est compréhensible mais il pourrai avoir un résumé sous forme de vidéos?
Répondre
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