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Méthode : Déterminer un ensemble de points

Définition

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe, sa forme trigonométrique est donnée par

z=r(cos(θ)+isin(θ)) z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

avec

r=z=a2+b2 et θ=arg(z).r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\quad \text{ et } \quad \theta=\arg(z).

A partir de la forme trigonométrique, on peut remplacer

(cos(θ)+isin(θ))=eiθ(cos(\theta) + isin(\theta))=e^{i \theta}

pour aboutir à la forme exponentielle

z=reiθ.z=re^{i\theta}.

Propriété

Soient zz et zz' deux nombres complexes tel que z0z'\neq 0.

  • z×z=z×z|z\times z'| = |z|\times |z'|

  • zz=zz|\dfrac{z}{z'}| = \dfrac{|z|}{|z'|}

  • zn=zn|z^n| = |z|^n

  • zˉ=z|\bar z| = |z|

  • z=z.|-z|=|z|.

Propriété

Soient zz et zz' deux nombres complexes tel que z0z'\neq 0.

  • arg(z×z)=arg(z)+arg(z)[2π]\arg(z \times z') = \arg(z) + \arg(z’) [2\pi]

  • arg(zz)=arg(z)arg(z)[2π]\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z’)[2\pi]

  • arg(zn)=narg(z)[2π]\arg(z^n) = n \arg(z)[2\pi]

  • arg(zˉ)=arg(z)[2π]\arg(\bar z) = -\arg(z)[2\pi]

  • arg(z)=π+arg(z)[2π].\arg(-z) =\pi+\arg(z)[2\pi].

Propriété

Soient α,α\alpha, \alpha ' deux réels et nn un entier,

  • eiαeiα=ei(α+α)e^{i\alpha}e^{i\alpha '} = e^{i(\alpha+\alpha ’)}

  • eiαeiα=ei(αα)\dfrac{e^{i\alpha}}{e^{i\alpha '}} = e^{i(\alpha-\alpha ’)}

  • 1eiα=eiα\dfrac{1}{e^{i\alpha}} = e^{-i\alpha}

  • (eiα)n=einα.(e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha}.

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