Terminale S

Résoudre une système avec les matrices

Définition

Une matrice carrée AA de dimension nn est inversible si et seulement si il existe une matrice BB telle que A×B=B×A=InA \times B = B \times A = I_nInI_n est la matrice unité de taille nn. La matrice BB est appelée matrice inverse de AA notée A1A^{-1}.

Théorème

Soit AA une matrice carrée. Si AA est inversible, le système A×X=BA\times X=B admet une solution unique donnée par : X=A1×BX = A^{-1} \times B

Propriété

Soit A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}, AA est inversible si et seulement si det(A)=adbc0\det(A) = ad-bc \neq 0. On a alors : A1=1det(A)(dbca)A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}.

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