Terminale ES

Matrices

1.

Introduction aux matrices

A.

Définition et propriétés générales

Définition

Une matrice de dimension (ou d’ordre ou de taille) n×pn\times p est un tableau de nombres réels (appelés coefficients ou termes) comportant nn lignes et pp colonnes. Si on désigne par aija_{ij} le coefficient situé à la ii-ième ligne et la jj-ième colonne la matrice s’écrira : A=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1p} \\ a_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ a_{n1} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix}

Définition
  • Une matrice carrée est une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. A=(a11a12...a1na21.....................an1......ann)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n} \\ a_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ a_{n1} & ...& ...& a_{nn} \end{pmatrix}
  • Une matrice ligne est une matrice dont le nombre de lignes est égal à 11. A=(a1,a2,...,an)A = (a_1, a_2, ..., a_n)
  • Une matrice colonne est une matrice dont le nombre de colonnes est égal à 11. A=(a1a2...an)A = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\...\\a_n\end{pmatrix}
Définition
  • La matrice nulle de dimension n×pn\times p est la matrice de dimension n×pn\times p dont tous les coefficients sont nuls. 0np=(00...00.....................0......0)0_{np} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ...& 0 \\ 0 & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ 0 & ...& ...& 0 \end{pmatrix}
  • Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tout les coefficients situés en dehors de la diagonale principale sont nuls. D=(d10...00.....................0......dn)D = \begin{pmatrix} d_{1} & 0 & ...& 0 \\ 0 & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ 0 & ...& ...& d_{n} \end{pmatrix}
  • La matrice unité de dimension nn est la matrice carrée de dimension nn qui contient des 11 sur la diagonale principale et des 00 ailleurs : In=(10...00..................00...01)I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0 \\ 0 & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&0 \\ 0 & ...& 0 & 1 \end{pmatrix}
B.

Opérations sur les matrices

Définition

Soient AA et BB deux matrices de même dimension. La somme A+BA+B des matrices AA et BB s’obtient en ajoutant les coefficients de AA aux coefficients de BB situés à la même position.

Définition

Soient AA une matrice et kk un nombre réel. Le produit kAkA est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de AA par kk.

Propriété

Soient A,BA, B et CC trois matrices de mêmes dimensions et kk et kk' deux réels.

  • A+B=B+AA + B = B + A (commutativité de l’addition)
  • A+(B+C)=(A+B)+CA + (B + C) = (A + B) + C (associativité de l'addition)
  • k(A+B)=kA+kBk(A + B) = kA + kB (distributivité par un scalaire)
  • (k+k)A=kA+kA(k + k')A = kA + k'A (distributivité par une matrice)
  • k(kA)=(kk)Ak(k'A) = (kk')A (associativité du scalaire)
Définition

Soit AA une matrice à nn lignes, pp colonnes. Si BB est une matrice telle que bij=ajib_{ij} = a_{ji}, alors la matrice BB est appelée la matrice transposée de AA et est notée ATA^T. AT=(a11a21...an1a12.....................a1p......anp)A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{n1} \\ a_{12} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{1p} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix}

Remarque

En général, la matrice n'a pas les mêmes dimensions que sa transposée.

Définition

Soient A=(a1,a2,...,an)A = (a_1,a_2, ..., a_n) une matrice ligne 1×n1 \times n et B=(b1b2...bn)B = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix} une matrice colonne n×1n \times 1. Le produit de AA par BB est le nombre réel : A×B=(a1,a2,...,an)×(b1b2...bn)=a1b1+a2b2+...+anbnA \times B = (a_1,a_2, ..., a_n) \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...+ a_n b_n

Définition

Soient A=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1p} \\ a_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ a_{n1} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix} une matrice n×pn \times p

et B=(b11b12...b1qb21.....................bp1......bpq)B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ...& b_{1q} \\ b_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ b_{p1} & ...& ...& b_{pq} \end{pmatrix} une matrice p×qp \times q.

Le produit de AA par BB est la matrice : A×B=(a11a12...a1pa21.....................an1......anp)×(b11b12...b1qb21.....................bp1......bpq)=(c11c12...c1qc21.....................cn1......cnq)\begin{aligned} A \times B &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1p} \\ a_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ a_{n1} & ...& ...& a_{np} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ...& b_{1q} \\ b_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ b_{p1} & ...& ...& b_{pq} \end{pmatrix}\\{}&= \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & ...& c_{1q} \\ c_{21} & ...& ...& ...\\ ...& ...& ...&...\\ c_{n1} & ...& ...& c_{nq} \end{pmatrix} \end{aligned} Avec cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aipbpjc_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ...+ a_{ip}b_{pj}

Propriété

Soit A,BA, B et C,C, trois matrices carrées de même dimension.

  • A×(B+C)=A×B+A×CA \times (B + C) = A \times B + A \times C (distributivité à gauche)
  • (A+B)×C=A×C+B×C(A + B) \times C = A \times C + B \times C (distributivité à droite)
  • A×(B×C)=(A×B)×CA \times (B \times C) = (A \times B) \times C (associativité de la multiplication).
Définition

Soit AA une matrice carrée et nn un entier naturel.

La matrice puissance nn-ième est la matrice du produit de nn fois la matrice.

On note AnA^n la matrice : An=A×A×...×A.A^n = A \times A \times ...\times A.

2.

Matrice inversible

Définition

Une matrice carrée AA de dimension nn est inversible si et seulement si il existe une matrice BB telle que A×B=B×A=InA \times B = B \times A = I_nInI_n est la matrice unité de taille nn. La matrice BB est appelée matrice inverse de AA notée A1A^{-1}.

Théorème

Soit AA une matrice carrée. Si AA est inversible, le système A×X=BA\times X=B admet une solution unique donnée par : X=A1×BX = A^{-1} \times B

Propriété

Soit A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}, AA est inversible si et seulement si det(A)=adbc0\det(A) = ad-bc \neq 0. On a alors : A1=1det(A)(dbca)A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}.

Commentaires

lumix-smile
0
eugenie   3
 Bonjour, est ce que c'est utile pour moi d'apprendre à résoudre un système d'équation avec des matrices alors que je ne suis qu'en seconde ?
lumix-smile
0
eugenie   3
apparemment cela va plus vite avec les matrices
lumix-smile
0
Vidmite   2
Est-ce que on peut télécharger