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Domaine de définition et simplifications avec le logarithme

Définition

La fonction logarithme népérien notée ln\ln est la seule fonction vérifiant : ex=a    x=ln(a)e^x = a \iff x = \ln(a).

Propriété

Pour tout réel x>0x>0, eln(x)=xe^{\ln(x)} = x Pour tout réel xx, ln(ex)=x\ln(e^x) = x.

Propriété

La fonction logarithme népérien est :

  • définie sur ]0;+[]0;+\infty[

  • continue

  • strictement croissante.

Propriété

ln(1)=0\ln(1) = 0 et ln(e)=1\ln(e) = 1.

Propriété

Pour tout réels aa et bb, pour tout entier nn,

  • ln(a×b)=ln(a)+ln(b)\ln(a\times b) = \ln(a)+\ln(b)

  • ln(1a)=ln(a)\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)

  • ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b)

  • ln(an)=nln(a)\ln(a^n) = n\ln(a)

  • ln(a)=12ln(a)\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)

lumix

Attention : ln(a+b)ln(a)+ln(b)\ln(a+b) \not = \ln(a) + \ln(b).

Propriété

Pour tout réels aa et bb strictement positifs,

  • ln(a)=ln(b)a=b\ln(a) = \ln(b) \Longleftrightarrow a = b

  • ln(a)<ln(b)a<b\ln(a) < \ln(b) \Longleftrightarrow a < b

  • ln(a)ln(b)ab\ln(a) \leq \ln(b) \Longleftrightarrow a \leq b.

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Commentaires

meli4

0
il y a 5 ans
Comment fait-on pour télécharger le résumé de la vidéo ? Au passage, c'est vraiment très bien expliqué, merci beaucoup ! :)
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Jolhan

0
il y a 5 ans
coment est ce possible que ln(-x) existe si ln(x)E R+*
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Farah_21

0
il y a 5 ans
-In(x) existe mais pas In(-x)
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Stecool

0
il y a 2 ans
C'est possible du moment où x<0 c'est-à-dire, x est un nombre négatif.  Du coup le signe - agit sur le x qui est négatif pour donner un nombre positif
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Sam222

0
il y a 5 ans
Le discriminant
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