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Résoudre une Inéquation

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Inéquations

Dans ce chapitre, nous allons introduire les inéquations. Les inéquations servent à mettre en évidence qu'un côté de l'équation est plus grand ou plus petit qu'un autre.

Définition

Il existe 44 types d'inéquations:

  • La stricte supérieure, notée >> , indique que le côté gauche est plus grand.

  • La strictement ou égale supérieure, notée \geq , indique que le côté gauche est plus grand ou égal au côté droit.

  • La stricte inférieure, notée << , indique que le côté gauche est plus petit.

  • La strictement ou égale inférieure, notée \leq , indique que le côté gauche est plus petit ou égal au côté droit.

Exemple

On aimerait écrire que 66 est plus grand que 44. On le note 6>4\textcolor{green}{6>4}. On ne peut pas écrire 4>6\textcolor{red}{4>6}, de la même façon qu'on ne pourrait pas écrire 4=6\textcolor{red}{4=6}.

lumix

On peut écrire 444\geq4, car 44 est plus grand ou égal à 44.

Par contre on ne peut pas écrire 4>44>4 ou 4<44<4. C'est la nuance entre les inégalités strictes et strictement ou égales.

Addition et Soustraction

Pour l'addition et la soustraction dans une inéquation la règle est la même que pour les égalités:

Propriété

Pour tous nombres aa, bb et cc :

  • si ab\quad a\leq b \quad alors a+cb+c\quad a{+c}\leq b{+c}

  • si ab\quad a\leq b \quad alors acbc\quad a{-c}\leq b{-c}

Ajouter ou soustraire un nombre à l'inéquation la laisse identique.

lumix

Les opérations se font de chaque côté de l'inéquation.

Multiplication et Division

Pour la multiplication et la division, il y'a une nouvelle chose à apprendre: le changement de sens. Un changement de sens intervient seulement quand on multiplie ou divise l'inéquation par un nombre négatif. Dans le cas d'un nombre positif, la règle reste la même que pour les équations:

Propriété

Supposons que c>0{c>0} :

  • si ab\quad a\leq b \quad alors a×cb×c\quad a \times {c}\leq b \times {c}

  • si ab\quad a\leq b \quad alors acbc\quad \dfrac a {c} \leq \dfrac b {c} \quad .

Multiplier ou diviser par un nombre positif laisse l'inéquation identique.

Que se passe-t-il dans le cas d'une division ou multiplication par un nombre négatif? Dans ce cas, lesigne de l'inéaglité change de sens, c'est à dire un supérieur devient un inférieur et vice versa:

Propriété

Supposons que c<0{c<0} :

  • si ab\quad a\leq b \quad alors a×cb×c\quad a \times {c} \quad {\color{red} \geq}\quad b \times {c}

  • si ab\quad a\leq b \quad alors acbc\quad \dfrac a {{c}}\quad {\color{red}\geq}\quad \dfrac b {{c}}.

Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inéquation.

Exercices Vidéo

Si tu es prêt(e) à t'entraîner, clique sur Voir l'extrait afin de regarder quelques exemples en vidéo!

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