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Solides, Sections et Coefficient de Réduction (Rappel)

Sections de solides

Propriété

Dans un cube, un pavé droit, un prisme droit et un cylindre,

Une section par un plan parallèle à une face (ou à la base pour le cylindre et le prisme droit) est de même nature et de mêmes dimensions que cette face.

Texte alternatif

Une section par un plan parallèle à une arête (ou perpendiculaire à la base pour le cylindre et le prisme droit) est un rectangle, dont une dimension est égale à la longueur de cette arête (ou à la hauteur pour le cylindre et le prisme).

Texte alternatif

Texte alternatif

Propriété

La section d’un cône par un plan parallèle à la base est un disque de rayon réduit par rapport à celui de la base.

La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est de même nature que la base mais de taille réduite.

Dans une sphère, une section par un plan parallèle à un grand cercle est un cercle de rayon réduit par rapport à celui du grand cercle.

Texte alternatif

Agrandissement et réduction

Propriété

Dans l'agrandissement ou la réduction d'une figure, si les longueurs sont multipliées par un nombre positif kk alors :

  • Les aires sont multipliées par k2k^2.

  • Les volumes sont multipliés par k3k^3.

Calculer l'aire ou le volume d'un objet agrandi ou réduit

Théorème

Lorsqu’on coupe une pyramide (ou un cône) par un plan parallèle à la base on obtient une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction de la grande pyramide (ou du grand cône). Le coefficient de réduction est :

k=SESA=SFSB=SGSC=SHSD(ouk=SISI)k = \frac{SE}{SA} = \frac{SF}{SB} = \frac{SG}{SC} = \frac{SH}{SD} (ou k = \frac{SI'}{SI})

Exemple

Prenons le cône régulier de la figure ci-dessus. Il a été coupé par un plan parallèle à la base. II et II' sont les centres respectifs de la base et de la section. AA et AA' sont les aires de la base et de la section. VV et VV' sont les volumes du grand et du petit cône. On donne : SI=4 cm,SI=12 cmSI' = 4\ cm , SI = 12\ cm et R=6 cmR = 6 \ cm est le rayon de la base.

  • Calculer AA et VV.

  • Calculer le coefficient de réduction des longueurs kk.

  • Calculer AA' et VV'.

A=π×R2=π×62=36πcm2.V=A×h3=A×SI3=36π×123=144π cm3.A=π×R ^2 = π×6 ^ 2 =36π cm^2\\ . V = \frac{A\times h}{3}=\frac{A\times SI}{3}=\frac{36\pi \times 12}{3}=144\pi \ cm^3.
k=SISI=412=13k = \frac{SI'}{SI} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

D’après la propriété des objets agrandis ou réduits

A=k2×A=91×36πcm2=4πcm2V=k3×V=127×144π cm3=163π cm3A' =k ^2 ×A= 9 1 ​ ×36π cm ^ 2 =4π cm ^ 2 \\ V'= k^3 \times V=\frac{1}{27} \times 144\pi \ cm^3 =\frac{16}{3} \pi \ cm^3

Mesurer avec des grandeurs composées

Les unités d'aire et de volume sont des grandeurs produits :

m2=m×m;cm3=cm×cm×cmm 2 =m×m;cm 3 =cm×cm×cm

La vitesse, la masse volumique sont des grandeurs quotients.

80km/h=80km1h80 km/h= \frac{80km}{1h} ​

Exemple

Exprimer en km/hkm/h les vitesses suivantes :

  • 25m/s

  • 5km/min

Solution

La formule donnant la vitesse est :

Vitesse=DistanceTempsVitesse = \frac{Distance}{Temps}

soit:

V1=25m/s=25m1s=25/1000km1/3600h=0.0253600km/h=90km/hV1 = 25m/s = \frac{25m}{1s} \\ = \frac{25 / 1000km}{1 / 3600h}\\ =0.025 * 3600 km/h \\ = 90km/h
V2=5km/min=5km1min=5km1/60h=560km/h=300km/hV_2 = 5km/min = \frac{5km}{1min} \\ = \frac{5km}{1/60h}\\ = 5 * 60 km / h \\ = 300 km/h
lumix

Mots clés à retenir : Section, Agrandissement, Réduction

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Commentaires

APOLINE

4
il y a 5 ans
tres claire meri
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