Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts et , elle se note .
Par trois points , et non alignés, il passe un et un seul plan noté .
Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite passant par ce point.
Une droite passant par deux points distincts d’un plan est contenue dans ce plan.
Tous les résultats de la géométrie plane (Thalès, Pythagore, Théorème des milieux, etc ...), sont applicables dans chaque plan de l'espace.
Vocabulaire
Lorsque des points appartiennent à un même plan, on dit qu'ils sont coplanaires.
Lorsque des droites sont contenues dans un même plan, on dit également qu'elles sont coplanaires.
Trois points non alignés définissent un unique plan.
Deux droites sécantes définissent un unique plan.
Une droite et un point n’appartenant pas à cette droite définissent un unique plan.
La perspective cavalière permet de représenter le solide sur une feuille papier en donnant l’impression de la 3D. Dans une perspective cavalière :
Les arêtes visibles sont représentées en traits pleins, celles qui sont cachées en pointillés.
Des droites parallèles sont représentées par des droites toujours parallèles.
Des droites concourantes sont représentées par des droites concourantes.
Les milieux des segments sont conservés.
Deux droites de l'espace sont :
Soit coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles).
Soit non coplanaires.
Notation : Si deux droites et sont parallèles, on écrit .
Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
Montrer que les deux droites et sont parallèles.
Solution
Dans le triangle , on a et sont respectivement, les milieux des segments et , donc d’après le théorème des milieux d’un triangle, appliqué dans le plan , on a est parallèle à et puisque la droite est aussi parallèle à ( est un parallélogramme) alors et sont parallèles (voir la figure ci-dessous).
Une droite et un plan de l'espace sont :
soit sécants.
soit parallèles.
Notation : Si une droite est parallèles à un plan , on écrit .
Si une droite est parallèle à une droite d'un plan , alors est parallèle à
On considère le tétraèdre (les points , , et ne sont pas coplanaires). Les points et sont respectivement, les milieux des segments et .
Montrer que la droite est parallèle au plan .
Dans le triangle , on a et sont respectivement, les milieux des segments et , donc d’après le théorème des milieux d’un triangle, appliqué dans le plan , on a est parallèle à et puisque la droite est incluse dans le plan , alors est parallèles à ce plan.
Deux plans de l'espace sont :
soit sécants.
soit parallèles.
Notation : Si deux plans et sont parallèles, on écrit .
Si deux droites sécantes (d'un plan) sont parallèles à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles
Montrer que les deux plans et sont parallèles.
Solution
Dans le triangle , on a et sont respectivement, les milieux des segments et , donc d’après le théorème des milieux d’un triangle, appliqué dans le plan , on a est parallèle à et puisque la droite est incluse dans le plan , alors .
Dans le triangle , on a et sont respectivement, les milieux des segments et , donc est parallèle à et puisque la droite est incluse dans le plan , alors .
Conclusion : les deux droites et sécantes dans le plan , sont parallèles au plan donc les deux plans et sont parallèles.
Mots clés à retenir : Droites, Plans, Positions relatives, Perspective.