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Géométrie dans l'Espace

Règles de base de la géométrie dans l'espace

Propriété

  • Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts AA et BB, elle se note (AB)(AB).

  • Par trois points AA, BB et CC non alignés, il passe un et un seul plan noté (ABC)(ABC).

  • Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite passant par ce point.

  • Une droite passant par deux points distincts d’un plan est contenue dans ce plan.

  • Tous les résultats de la géométrie plane (Thalès, Pythagore, Théorème des milieux, etc ...), sont applicables dans chaque plan de l'espace.

Vocabulaire

    • Lorsque des points appartiennent à un même plan, on dit qu'ils sont coplanaires.

    • Lorsque des droites sont contenues dans un même plan, on dit également qu'elles sont coplanaires.

    Plan

    Propriété

    • Trois points non alignés définissent un unique plan.

    • Deux droites sécantes définissent un unique plan.

    • Une droite et un point n’appartenant pas à cette droite définissent un unique plan.

    Texte alternatif

    Remarque

    La perspective cavalière permet de représenter le solide sur une feuille papier en donnant l’impression de la 3D. Dans une perspective cavalière :

    • Les arêtes visibles sont représentées en traits pleins, celles qui sont cachées en pointillés.

    • Des droites parallèles sont représentées par des droites toujours parallèles.

    • Des droites concourantes sont représentées par des droites concourantes.

    • Les milieux des segments sont conservés.

    Texte alternatif

    Droites et plans

    Positions relatives de deux droites

    Théorème

    Deux droites de l'espace sont :

    • Soit coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles).

    • Soit non coplanaires.

    Notation : Si deux droites (D)(D) et (Δ)(\Delta) sont parallèles, on écrit (D)//(Δ)(D)//(\Delta).

    Texte alternatif
    lumix

    Attention : Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement sécantes.

    Théorème

    Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

    Texte alternatif

    Exemple

    Montrer que les deux droites (IJ)(IJ) et (AD)(AD) sont parallèles.

    Texte alternatif

    Solution

    Dans le triangle SBCSBC, on a II et JJ sont respectivement, les milieux des segments [SB][SB] et [SC][SC], donc d’après le théorème des milieux d’un triangle, appliqué dans le plan (SBC)(SBC), on a (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC) et puisque la droite (AD)(AD) est aussi parallèle à (BC)(BC) (ABCDABCD est un parallélogramme) alors (IJ)(IJ) et (AD)(AD) sont parallèles (voir la figure ci-dessous).

    Texte alternatif

    Positions relatives d'une droite et d'un plan

    Propriété

    Une droite et un plan de l'espace sont :

    • soit sécants.

    • soit parallèles.

    Notation : Si une droite (D)(D) est parallèles à un plan (P)(P), on écrit (D)//(P)(D)//(P).

    Texte alternatif

    Théorème

    Si une droite (D)(D) est parallèle à une droite (Δ)(\Delta) d'un plan (P)(P), alors (D)(D) est parallèle à (P)(P)

    Texte alternatif

    Exemple

    On considère le tétraèdre ABCDABCD (les points AA, BB, CC et DDne sont pas coplanaires). Les points II et JJ sont respectivement, les milieux des segments [AB][AB] et [AC][AC].

    Montrer que la droite (IJ)(IJ) est parallèle au plan (BCD)(BCD).

    Texte alternatif

    Texte alternatif

    Dans le triangle ABCABC, on a II et JJ sont respectivement, les milieux des segments [AB][AB] et [AC][AC], donc d’après le théorème des milieux d’un triangle, appliqué dans le plan (ABC)(ABC), on a (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC) et puisque la droite (BC)(BC) est incluse dans le plan (BCD)(BCD), alors (IJ)(IJ) est parallèles à ce plan.

    Texte alternatif

    Texte alternatif

    Positions relatives de deux plans

    Propriété

    Deux plans de l'espace sont :

    • soit sécants.

    • soit parallèles.

    Notation : Si deux plans (P)(P) et (Q)(Q) sont parallèles, on écrit (P)//(Q)(P)//(Q).

    Texte alternatif

    Théorème

    Si deux droites sécantes (d'un plan) sont parallèles à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles

    Texte alternatif

    Exemple

    Montrer que les deux plans (IJK)(IJK) et (BCD)(BCD) sont parallèles.

    Texte alternatif

    Texte alternatif

    Solution

    Dans le triangle ABCABC, on a II et JJ sont respectivement, les milieux des segments [AB][AB] et [AC][AC], donc d’après le théorème des milieux d’un triangle, appliqué dans le plan (ABC)(ABC), on a (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC) et puisque la droite (BC)(BC) est incluse dans le plan (BCD)(BCD), alors (IJ)//(BCD)(IJ)//(BCD).

    Texte alternatif

    Dans le triangle ABDABD, on a II et KK sont respectivement, les milieux des segments [AB][AB] et [AD][AD], donc (IK)(IK) est parallèle à (BD)(BD) et puisque la droite (BD)(BD) est incluse dans le plan (BCD)(BCD), alors (IK)//(BCD)(IK)//(BCD).

    Conclusion : les deux droites (IJ)(IJ) et (BD)(BD) sécantes dans le plan (IJK)(IJK), sont parallèles au plan (BCD)(BCD)donc les deux plans (IJK)(IJK) et (BCD)(BCD) sont parallèles.

    lumix

    Mots clés à retenir : Droites, Plans, Positions relatives, Perspective.

    Commentaires

    ipon1805

    0
    il y a 5 ans
    Ecris un commentaire..
    Répondre

    binta

    0
    il y a 5 ans
    pourquoi on fait 1/9 ou encore 1/27?
    Répondre

    binta

    0
    il y a 5 ans
    Ecris un commentaire..
    Répondre

    binta

    0
    il y a 5 ans
    Bonjour pourquoi on fait 1/9 ou 1/27
    Répondre