Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (c’est-à-dire qu’il existe un plan les contenant toutes les deux), soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan les contenant toutes les deux). Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles ou confondues).
Deux plans de l’espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles.
Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux.
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
Si un plan contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan alors les plans et sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles entre elles.
Soient et deux plans distincts, sécants selon une droite . Si une droite de est strictement parallèle à une droite de alors la droite intersection de et est parallèle à et à .
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles passant par un même point sont perpendiculaires dans le plan qu’elles définissent.
Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est orthogonale à ce plan.
Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel tel que . Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.
et étant deux points distincts de l’espace, la droite est l’ensemble des points de l’espace tels que et soient colinéaires. On dit que est un vecteur directeur de la droite .
Trois vecteurs non nuls et sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine ont des extrémités et telles que et appartiennent à un même plan.
et étant trois points non alignés de l’espace, le plan est l’ensemble des points de l’espace tels que : , avec et deux nombres réels. On dit que et dirigent le plan .
Soit trois vecteurs non nuls et tels que et ne sont pas colinéaires. et sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels et tels que
Si est un point de l’espace et et trois vecteurs non coplanaires, alors pour tout point de l'espace, il existe un unique triplet de réels tels que : .
est le triplet de coordonnées du point dans le repère . est l'abscisse du point , est l'ordonnée du point et est la cote du point sont aussi les coordonnées du vecteur dans le repère .
Dans un repère de l'espace, Soit et . Alors : et le milieu de a pour coordonnées : . Si de plus est orthonormé,
Dans un repère de l'espace, soit deux vecteurs et un nombre réel. Alors et . Si de plus est orthonormé,
Dans un repère de l'espace, on considère la droite passant par et de vecteur directeur . si et seulement si il existe un réel tel que :
On dit que le système d'équations où est une représentation paramétrique de la droite passant par et de vecteur directeur .
Dans un repère de l'espace, le plan passant par et de vecteurs directeurs et . si et seulement si il existe deux réels et tels que :
On dit que le système d'équations où et est une représentation paramétrique du plan passant par et de vecteurs directeurs et .
Mots clés à retenir : Colinéaire, Coplanaire, Orthogonale.