On appelle fonction polynôme du second degré à coefficients réels, toute fonction définie sur , pouvant se ramener à la forme réduite :
où , et sont des réels avec .
L'expression est encore appelée trinôme du second degré.
On appelle forme canonique de la fonction trinôme du second degré
l’écriture :
tels que et .
On considère la fonction trinôme du second degré . Écrire sous sa forme canonique.
Solution
On a avec , et D’après la définition de la forme canonique :
α=−2ab=−2×23=−43
β=p(α)=p(−43)=2(−43)2+3(−43)−7=
Donc la forme canonique de la fonction trinôme est
Autre méthode pour calculer la forme canonique
Il suffit de construire une identité remarquable dans le trinôme :
RAPPEL : Pour tous nombres et :
Donc
Soit une fonction trinôme de second degré définie par sa forme canonique : tels que , et sont trois nombres réels et .
Le sens de variation de dépend du signe de
Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction .
Même question pour la fonction .
Solution
Puisque alors est décroissante sur l’intervalle
puis croissante sur l’intervalle
Voici le tableau de variation et la courbe de :
On écrit d’abord sous sa forme canonique :
Puisque alors est croissante sur l’intervalle () puis décroissante sur l’intervalle . Voici le tableau de variation et la courbe de :
Soit une fonction trinôme de second degré définie par sa forme canonique : tels que , et sont trois nombres réels ().
La fonction admet comme extremum sur , atteint pour :
Si alors est un minimum.
Si alors est un maximum.
Déterminer l’extremum de la fonction .
Solution
On a , et Puisque alors (c'est-à-dire ) est le minimum de sur , atteint en (c'est-à-dire ).
Soit une fonction trinôme de second degré définie par sa forme canonique : tels que , et sont trois nombres réels ().
Si et , alors la fonction est positive sur
Si et , alors la fonction est négative sur .
Dans les autres cas ( et ont des signes différents), on utilise la forme factorisée de puis on dresse un tableau de signe.
Etudier le signe des trois fonctions trinômes suivantes :
f(x)=(x−4)2+5
g(x)=−7(x+31)2−6
Solution
Signe de : pour tout
donc est positive sur .
Signe de : Pour tout :
donc est négative sur .
Signe de : On remarque ici que et (signes différents), dans ce cas il faut penser au tableau de signe de la fonction . Premièrement on factorise l’expression par l’identité remarquable :
Tableau de signe de (Voir le cours : « Factorisation et Etudes de Signe ») : si et seulement si . si et seulement si .
Conclusion : est positive sur l’ensemble et négative sur l’intervalle
On considère la fonction trinôme définie par sa forme réduite
Vérifier que les deux formes suivantes (canonique et factorisée), sont celles de :
Selon la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe de , puis donner son tableau de variation et déterminer son extremum sur .
Déterminer les éventuels antécédents de par .
Déterminer les éventuels antécédents de par .
Etudier le signe de .
Solution
On développe les deux expressions pour prouver qu’elles sont égales à :
Pour les coordonnées du sommet de la parabole, le tableau de variation et l’extremum de , la forme la plus adaptée est la forme canonique :
Le sommet de la parabole de est
Un premier item...
Un second...
Pour déterminer les antécédents de , on résout l’équation , donc la forme la plus adaptée est la forme factorisée :
Les antécédents de sont et .
our déterminer les antécédents de , on résout l’équation , donc la forme la plus adaptée cette fois est la forme canonique :
Les antécédents de sont et
Pour étudier le signe de On utilise la forme factorisée . Revoir le paragraphe « signe d’une fonction trinôme » : Tableau de signe de : si et seulement si . si et seulement si .
Conclusion : est positive sur l’ensemble et négative sur l’intervalle
Mots clés à retenir : Forme canonique, Parabole, Sommet, Variations, Signe, Extremum.