Exercice type sur la loi Exponentielle

Définition

Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$ si elle admet pour densité la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ .

Propriété

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et $a$ et $b$ deux réels positifs. On a alors :

$P(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$
$P(X \leq a) = 1 - e^{-\lambda a}$
$P(X \geq a) = e^{-\lambda a}$ .

Propriété

On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . On a alors $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ .

Propriété

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ et deux nombres $t > 0$ et $h > 0$ .

On a :

P_{(X>t)}(X > t+h) = P(X > h)

On dit que la loi exponentielle est sans vieillissement ou avec absence de mémoire.

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Propriété

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Gabriel

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