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Loi Exponentielle ?(λ)

Définition

Une variable aléatoire XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambdaλ>0\lambda > 0 si elle admet pour densité la fonction ff définie sur [0;+[[0;+\infty[ par f(x)=λeλxf(x) = \lambda e^{-\lambda x}.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda et aa et bb deux réels positifs. On a alors :

  • P(aXb)=eλaeλbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

  • P(Xa)=1eλaP(X \leq a) = 1 - e^{-\lambda a}

  • P(Xa)=eλaP(X \geq a) = e^{-\lambda a}.

Propriété

On considère une variable aléatoire XX suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda. On a alors E(X)=1λE(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda > 0 et deux nombres t>0t > 0 et h>0h > 0.

On a :

P(X>t)(X>t+h)=P(X>h)P_{(X>t)}(X > t+h) = P(X > h)

.

On dit que la loi exponentielle est sans vieillissement ou avec absence de mémoire.

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Commentaires

Emma-Louise

0
il y a 5 ans
normalement l'allure de la courbe de la loi exponentielle n'est pas comme ca si? 
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Rémi.L

0
il y a 5 ans
si
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