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Loi Binomiale

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp et un entier kk avec 0kn0\leq k \leq n. L’entier (nk)\dbinom{n}{k}, appelé coefficient binomial et se lisant « kk parmi n », désigne le nombre de chemins de l’arbre correspondant à kk succès.

Propriété

Soit nn et kk des entiers naturels avec 0kn10 \leq k \leq n − 1. {(n0)=1(nn)=1(nk)=(nnk)(nk)+(nk+1)=(n+1k+1) Formule de Pascal\begin{cases} \dbinom{n}{0}=1\\ \dbinom{n}{n}=1\\ \dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\\ \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}= \dbinom{n+1}{k+1} \text{ Formule de Pascal} \end{cases}

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. On dit que la variable aléatoire XX donnant le nombre de succès obtenus sur les nn épreuves suit la loi binomiale de paramètres nn et pp, notée B(n;p)B(n;p).

Définition

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi B(n;p)B(n ; p). On a :

P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X = k) =\dbinom{n}{k}p^k(1 − p)^{n−k}

.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi B(n;p)B(n;p). {E(X)=npV(X)=np(1p)σ(X)=V(X)\begin{cases}E(X) = np\\ V(X) = np(1 − p)\\ \sigma(X) =\sqrt{V(X)} \end{cases}

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