Dans ce chaptre, nous allons parler de la fonction exponentelle. On s'y intéresse car c'est l'unique fonction dont la dérivée est égale à elle même.
La fonction exponentielle notée ou est l'unique fonction vérifiant trois propriétés :
est dérivable sur
(la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même)
.
et sont deux notations équivalentes de la fonction exponentielle.
Voici le graphe de la fonction exponentielle. On remarquera le comportement asymptotique aux extrémités de la courbe.
La fonction exponentielle tend vers à . Son image en vaut , et elle croît (de plus en plus rapidement!) vers l'infini .
La fonction exponentielle est :
strictement croissante ( pour n'importe quel )
déinie sur (pour n'importe quel )
strictement positive ( pour n'importe quel )
.
De plus, pour tout . Il est important de remarquer que est un nombre à une puissance , et ce nombre vaut approximativement 2,71.
Il y a formules à connaître :
Pour tous réels et , pour tout entier ,
On remarque les mêmes propriétés que pour la fonction puissance. Mais, comme remarqué plus haut, est un nombre fixe à une puissance , ce qui est la définition d'une fonction puissance. Les règles sont donc les mêmes pour les opérations.
.