Tableau de signe d'un produit de fonctions

Sommaire

Signe d'une fonction affine

Signe d'un produit de fonction affines

Dans ce chapitre, nous allons donner la marche à suivre pour un tableau de signes pour un produit de fonctions affines.

Un produit de fonctions affines a toujours cette forme: $(ax+b)(cx+d)$ .

Signe d’une fonction affine

Tout d'abord étudions le signe d'une fonction affine $ax+b$ :

Propriété

Le signe de la fonction $x \longmapsto ax + b$ suivant la valeur de $x$ est donné par le tableau ci-dessous :

Graphiquement, ça donne ceci:

Signe d’un produit de fonctions affines

Maintenant qu'on sait dresser, le tableau de signes pour une fonction affine, comment étendre ça à un produit de telles fonctions? Pour cela on va utiliser la règle des signes. Rappelons la:

Propriété

Le produit (ou quotient) de deux nombres de même signe est positif.

Exemple

5\times 4=20 \qquad ; \qquad (-3)\times(-2)=6.

Propriété

Le produit (ou quotient) de deux nombres de signes contraires est négatif.

Exemple

(-6)\times 2=-12 \qquad ; \qquad 8\times(-3)=-24.

Pour tracer un tableau de signes d'un produit de fonctions affines $(ax+b)(cx+d)$ , la marche à suivre est la suivante:

Calculer la valeur qui annule $ax+b$ .Tracer sur la première ligne le tableau de signes du premier terme $ax+b$ , ainsi que sa valeur annulatrice.
Calculer la valeur qui annule $cx+d$ . Sur la deuxième ligne, tracer le tableau de signes du second terme $cx+d$ , ainsi que sa valeur annulatrice.
Sur la troisième ligne, le signe du produit $(ax+b)(cx+d)$ s'obtient par l'application de la règles des signes de haut en bas $\downarrow$ .

Exemple

Dresser le tableau de signes de $(x-1)(2x-6)$ .

Solution

On trace le tableau de signes de $x-1$ :
On trace le tableau de signes de $2x-6$ :
On trace le tableau de $(x-1)(2x-6)$ . En appliquant la règle des signes de haut en bas pour chaque intervalle de $x-1$ et de $2x-6$ ,

On peut de la même manière étudier le signe d'un produit d'autant de fonctions affines qu'on veut. Il suffit de continuer à les lignes de chaque terme du produit et appliquer la règle des signes de haut en bas.

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Déterminer le signe d'une fonction affine

Signe d'une fonction homographique

Factoriser avec le Facteur Commun

Factoriser avec les Identités Remarquables

Tableau de signe d'un produit de fonctions

Signe d’une fonction affine

Propriété

Signe d’un produit de fonctions affines

Propriété

Exemple

Propriété

Exemple

Exemple

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