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Les fonctions affines et linéaires

Dans ce chapitre, nous allons parler des fonctions linéaires et des fonctions affines. Une fonction linéaire, comme une fonction affine, représentre une droite. Bien que les droites soient très intuitives à tracer, on cherche une façon de les écrire algébriquement avec une fonction f(x)f(x). Le but est de pouvoir associer à chaque droite une fonction.

Fonctions linéaires et affines

Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x)=ax+bf(x) = ax + b, où aa et bb sont des nombres réels.

Le nombre aa est appelé coefficient de proportionnalité.

Le nombre bb est appelé ordonnée à l'origine.

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=axf(x) = ax, où aa est un nombre réels.

Le nombre aa est appelé coefficient de proportionalité.

Propriété

  • Si a>0a>0 la fonction est croissante.

  • Si a<0a<0 la fonction est décroissante.

lumix

Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine b=0b=0.

lumix

Toute fonction affine et linéaire admet une droite comme représentation graphique. Toute droite est représentée par l'équation f(x)=ax+b.

Exemple

  • Un premier item...

  • Un second...

Représentation graphique d'une fonction affine f(x)=x+1f(x) = x+1:

Texte alternatif

Tracer le graphique d'une fonction linéaire

Imaginons qu'on nous donne une certaine fonction f(x)=ax+bf(x) = ax +bet qu'on veuille tracer sa représentation graphique. Voici la marche à suivre:

  1. On lit la valeur de l'ordonnée à l'origine bb. On place un point en (0,b)(0,b).

  2. On lit la valeur du coefficient de proportionnalité aa. On place un point à (b+1,b+a)(b+1, b+a).

  3. On relie ces deux points par une droite. Cette droite est la représentation graphique de f(x)f(x).

Exemple

Représenter graphiquement la fonction f(x)=x+1f(x)=x+1.

  • Cette fonction admet b=1b=1 comme ordonnée à l’origine. On place donc le premier point en (0,b)=(0,1)(0,b) = (0,1).

  • Cette fonction admet a=1a=1 comme coefficient directeur. On place donc le deuxième point en (b+1,b+a)=(1+1,1+1)=(2,2)(b+1,b+a) = (1+1,1+1) = (2,2).

  • On relie ces deux points par une droite. Cette droite est la représentation graphique de f(x)f(x).

Texte alternatif

Déterminer l'équation d'une fonction linéaire

On s'intéresse ici à la question inverse: comment à partir d'une représentation graphique d'une droite, connaître l'équation de la fonction f(x)=ax+bf(x) = ax + b qui la représente? La marche à suivre est la suivante:

  1. On regarde où la droite intersecte l'axe des ordonnées. C'est la valeur bb dans l'équation f(x)=ax+bf(x) = ax + b.

  2. On trace une droite verticale en la valeur (0,1)(0,1). On note l'intersection de la droite verticale avec notre droite.

  3. On trace une droite horizontale à cette intersection.

  4. L'intersection de la droite horizontale avec l'axe des ordonnées nous donne la valeur de aba-b. On en déduit aa et on peut écrire notre équation f(x)=ax+bf(x) = ax +b.

Exemple

Déduire l'équation de la fonction f(x)=ax+bf(x) = ax + b du graphique de la droite ci-dessous:

Texte alternatif
  • On remarque que la droite intersecte l'axe des ordonnées en 11, donc b=1b=1.

  • On trace la droite verticale en (0,1)(0,1). On note son intersection avec notre droite (point orange du haut).

  • On trace la droite horizontale à cette intersection.

  • La droite horizontale intersecte l'axe des ordonnées en 22, la valeur de aba-b est donc 22, et a=2b=21=1a=2-b =2-1 =1 . On peut donc écrire notre équation f(x)=ax+b=x+1f(x) = ax +b= x + 1.

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Commentaires

sarah24

0
il y a 4 ans
bla
Répondre

Titouan

1
il y a 4 ans
Il n'y aurait pas une inversion entre affine et linéaire dans les défintions?
Répondre