Estimation : Intervalle de confiance (p est inconnu)

Dans cette vidéo, nous allons apprendre ce qu'est un intervalle de confiance.

Un intervalle de confiance est une estimation de la probabilité $p$ , qui est inconnue, à partir de la fréquence d'un échantillon. La probabilité est inconnue, et on souhaite estimer où elle peut se trouver dans $95\%$ des cas. L'intervalle de confiance nous indique cet intervalle à partir du nombre $n$ de l'échantillon et de la fréquence d'un événement $f$ .

Définition

L'intervalle de confiance est un intervalle dans lequel $p$ se trouvera dans $95\%$ des cas.
Il peut être calculé quand la taille de l'échantillon $n>30$ , $nf > 5$ et $n(1-f) > 5$ , où $f$ représente la fréquence d'un événement de l'échantillon.
La formule pour l'intervalle de confiance s'écrit comme suit :

I=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]

Pour calculer un intervalle de confiance, on doit donc prendre en compte le nombre d'individus, calculer la fréquence, vérifier que les conditions

n>30

nf > 5

n(1-f) > 5

sont remplies, et ensuite appliquer la formule de l'intervalle de confiance.

Exemple

On souhaite prédire la probabilité d'un résultat d'une élection. On interroge $n=100$ individus s'ils souhaitent voter pour Gégé ou pour Pépé. $64$ personnes du sondage ont choisi de voter pour Pépé. Donner un intervalle de confiance pour la probabilité que Pépé gagne l'élection.

Nous avons un échantillon de $100$ personnes. La fréquence $f$ à calculer ici est la proportion des gens qui ont voté pour Pépé dans le sondage, car on nous demande l'intervalle de confiance pour la probabilité de Pépé de gagner l'élection. Nous avons donc $f=\dfrac{64}{100}=0.64$ et on peut donc appliquer la formule de l'intervalle de confiance pour obtenir :

I = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0.64 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}; 0.64 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] =\left[ 0.64 - 0.1;0.64+0.1\right] = \left[ 0.54; 0.74\right]

Exemple

On souhaite prédire la probabilité d'un population femelle de truites dans une rivière. On pêche $n=100$ truites, on marque leur sexe et on les relâche dans la rivière. On marque ainsi 55 femelles et 45 mâles. Donner un intervalle de confiance pour la probabilité de trouver une truite femelle dans cette rivière.

Nous avons un échantillon de $100$ truites. La fréquence $f$ à calculer ici est la proportion des truites femelles, car on nous demande l'intervalle de confiance pour la probabilité de trouver une truite femelle dans la rivière. Nous avons donc $f=\dfrac{55}{100}=0.55$ et on peut ainsi appliquer la formule de l'intervalle de confiance pour obtenir :

I = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0.55 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}; 0.55 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] =\left[ 0.55 - 0.1;0.55+0.1\right] = \left[ 0.45; 0.65\right]

Revenir au chapitre

Echantillon, simulation, intervalle de fluctuation et estimations

Estimation : Intervalle de confiance (p est inconnu)

Définition

Exemple

Exemple

Classes

Entreprise

Réseaux sociaux