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Échantillonnage

Intervalle de fluctuation

Définition

Soit II un intervalle, ss un réel de ]0;1[]0;1[ et XX une variable aléatoire. II est un intervalle de fluctuation de XX au seuil de ss si P(XI)sP(X \in I) \geq s.

Propriété

Soit XnX_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p)B(n;p) et α ]0;1[\alpha \in ]0;1[. Alors, d’après le théorème de Moivre-Laplace,

limnP(XnnIn)1α\lim\limits_{n\to\infty}P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n \right) \geq 1-\alpha

In=[puαp(1p)n;p+uαp(1p)n]I_n = \left[p-u_{\alpha}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p+u_{\alpha}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right] avec uαu_{\alpha} qui est le nombre tel que P(uαZuα)=1αP(-u_{\alpha} \leq Z \leq u_{\alpha}) = 1-\alpha lorsque ZZ suit la loi normale centrée réduite N(0;1)N(0;1). InI_n est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de Xnn\dfrac{X_n}{n} au seuil de 1α1-\alpha.

Propriété

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 9595% est inclus dans l’intervalle [p1n;p+1n]\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]

Intervalle de confiance

Propriété

La proportion pp inconnue est telle que, pour n>30,nf>5n > 30, nf > 5 et n(1f)>5n(1−f) > 5, on a :

P(f1npf+1n)0,95.P\left(f - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq p \leq f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0,95.

Définition

L'intervalle [f1n;f+1n]\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] est appelé intervalle de confiance de la proportion pp au seuil (ou niveau) de confiance de 95%95\%.

lumix

Mots clés à retenir : Fluctuation, Confiance, 95%.

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