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Calcul littéral

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La traduction mathématique de certains problèmes tels que : le calcul de périmètres, de surfaces, de volumes... nous conduit à des expressions dites littérales.

Développements et réductions

Définition

Une expression littérale est une expression qui comporte une ou plusieurs lettres.

Exemple

  • 600x600-x

  • V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^3

  • U=R.IU=R.I

  • Les polynômes, les fractions rationnelles...

Pour développer ou réduire des expressions littérales, on peut utiliser les propriétés suivantes.

Propriété

a,b,x,y,za,b,x,y,z et tt étant des nombres, on a :

1. Suppression des parenthèses

  • a+(b+c)=a+b+ca+(b+c)=a+b+c

  • a+(bc)=a+bca+(b-c)=a+b-c

  • (a+b)=ab-(a+b)=-a-b

  • (ab)=a+b-(a-b)=-a+b

  • a(b+c)=abca-(b+c)=a-b-c

  • a(bc)=ab+ca-(b-c)=a-b+c

2. Développement d'un produit

  • x(y)=x×y=xyetx(y)=x×(y)=xyx(y)=x\times y=xy\, \,et\,\,x(-y)=x\times (-y)=-xy\,

  • x(y+z)=xy+xzx(y+z)=xy+xz

  • x(yz)=xyxzx(y-z)=xy-xz

  • (x+y)(z+t)=x(z+t)+y(z+t)=xz+xt+yz+yt(x+y)(z+t)=x(z+t)+y(z+t)=xz+xt+yz+yt

lumix
  • La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction

  • L'élévation à une puissance est prioritaire sur la multiplication

Exemple

Développons et réduisons l'expression A=(2a6)(34a)+7a2A=(2a-6)(3-4a)+7a^2

1. Le calcul (2a6)(34a)(2a-6)(3-4a) est prioritaire. On a : (2a6)(34a)=2a(34a)6(34a)=6a8a218+24a(2a-6)(3-4a)=2a(3-4a)-6(3-4a)=6a-8a^2-18+24a

2. Au final, la forme développée et réduite de AA est : a2+30a18-a^2+30a-18

Identités remarquables

Propriété

aa et bb étant deux nombres réels, on a :

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

  • (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

  • a2b2=(ab)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

  • (a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Factorisation

Définition

Factoriser une expression littérale, c'est l'écrire sous forme d'un produit d'au moins deux expressions toutes distinctes de 11

lumix

Pour factoriser une expression littérale, on peut procéder comme suit :

  • Mettre en évidence un facteur commun à chaque terme et utiliser les relations : xy+xz=x(y+z);xyxz=x(yz)xy+xz=x(y+z) \,\, ; \,\, xy-xz=x(y-z)

  • Reconnaitre et utiliser les égalités remarquables.

Exemple

Soit aa et bb deux nombres réels.

1. Factoriser l'expression : ab+a+b+1ab+a+b+1

2. Déduire que pour tous réels aetba\,\,et\,\,b distincts de \, 1-1 , ab+a+b1ab+a+b\,\neq -1


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Commentaires

LoolaYoon

-1
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
Répondre

Geraud

0
il y a 3 ans
Dans l'expression de départ de A, il y'avait 7a². Or on a dans un premier temps donné le résultat de (2a-6)(3-4a). À ce résultat, il faut juste ajouter 7a². Tu auras 7a² - 8a² + ... Finalement tu retrouves l'expression donnée.
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LoolaYoon

0
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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LoolaYoon

0
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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LoolaYoon

0
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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LoolaYoon

0
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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Patate Haruwo qui n’aime pas fortnite Le bg

0
il y a 2 ans
t'as discord ?
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LoolaYoon

0
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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LoolaYoon

-1
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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LoolaYoon

0
il y a 4 ans
dans le développement final 6a-8... etc? le 8a au carré disparait mais ou vas t-il ?  
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kenza

0
il y a 4 ans
tu peux donner lexo complet stpl
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