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Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Définition

Si aa et bb sont deux entiers relatifs non tous les deux nuls, l'ensemble des diviseurs communs à aa et bb admet un plus grand élément. On l'appelle Plus Grand Commun Diviseur de aa et bb et on le note PGCD(a,b)PGCD(a,b).

Propriété

Soit aa et bb deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Pour tout αN,PGCD(αa,αb)=αPGCD(a,b)\alpha \in \mathbb{N}^*, PGCD(\alpha a, \alpha b) = \alpha PGCD(a,b).

Corollaire

Soit aa et bb deux entiers relatifs non tous les deux nuls et dd un entier naturel : d=PGCD(a,b)d = PGCD(a,b) si et seulement si a=daa = da' et b=dbb = db' avec aa' et bb' entiers premiers entre eux.

Propriété

Soit aa et bb deux entiers supérieurs ou égaux à 22.

  • S'ils n'ont aucun facteur premier commun, PGCD(a,b)=1PGCD(a,b) = 1.

  • Sinon, PGCD(a,b)PGCD(a,b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions.

Propriété

On obtient le PPCMPPCM de deux entiers supérieurs ou égaux à 22 en effectuant le produit des facteurs premiers figurant dans l'une ou l'autre de leurs décompositions, chacun étant affecté de son exposant s'il n'apparaît que dans l'une des deux décompositions ou du plus grand des deux exposants s'il apparaît dans les deux.

Propriété

Si aa et bb sont deux entiers naturel non nuls, alors PGCD(a,b)×PPCM(a,b)=abPGCD(a,b) \times PPCM(a,b) = ab.

Corollaire

Si aa et bb sont deux entiers relatifs non nuls, pour tout αN,\alpha \in \mathbb{N}^*, PPCM(αa,αb)=α×PPCM(a,b)PPCM(\alpha a, \alpha b) = \alpha \times PPCM(a,b).

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